Глава 4, §1, п.1 20 Постройте математическую модель и решите задачу: а) Сумма двух натуральных чисел равна 27. Первое число при делении на 7 дает остаток 4, а второе число при делении на 7 дает остаток 2. Найдите эти числа. б) Первый угол треугольника на 30° больше второго и в три раза меньше третьего, Найдите больший угол этого треугольника. в) Длина ломаной AKLN равна 15,6 см. Известно, что АК равно четверти расстояния между ее началом и концом, KL на 0,6 см меньше АК, а LN в 2 раза больше KL. Чему равно звено АК этой ломаной? B г) Сумма цифр загаданного четырехзначного числа равна 30. Вторая цифра этого числа на 1 меньше первой, третья 3 раза больше второй, а четвертая Какое число загадали?

a) Пусть первое число $$x$$, а второе число $$y$$. Тогда:

• $$x + y = 27$$
• $$x = 7a + 4$$
• $$y = 7b + 2$$

Подставим $$x$$ и $$y$$ в первое уравнение:

$$7a + 4 + 7b + 2 = 27$$

$$7a + 7b = 27 - 6$$

$$7a + 7b = 21$$

$$7(a + b) = 21$$

$$a + b = 3$$

Возможные варианты для $$a$$ и $$b$$:

• $$a = 0$$, тогда $$b = 3$$
• $$a = 1$$, тогда $$b = 2$$
• $$a = 2$$, тогда $$b = 1$$
• $$a = 3$$, тогда $$b = 0$$

Найдем соответствующие значения $$x$$ и $$y$$:

• Если $$a = 0$$, $$x = 7 \cdot 0 + 4 = 4$$, $$y = 7 \cdot 3 + 2 = 23$$. Тогда $$4 + 23 = 27$$

• Если $$a = 1$$, $$x = 7 \cdot 1 + 4 = 11$$, $$y = 7 \cdot 2 + 2 = 16$$. Тогда $$11 + 16 = 27$$

• Если $$a = 2$$, $$x = 7 \cdot 2 + 4 = 18$$, $$y = 7 \cdot 1 + 2 = 9$$. Тогда $$18 + 9 = 27$$

• Если $$a = 3$$, $$x = 7 \cdot 3 + 4 = 25$$, $$y = 7 \cdot 0 + 2 = 2$$. Тогда $$25 + 2 = 27$$

Ответ: (4, 23), (11, 16), (18, 9), (25, 2)

б) Пусть второй угол $$x$$, тогда первый угол $$x + 30°$$, а третий угол $$3(x + 30°)$$. Сумма углов треугольника равна 180°:

$$x + (x + 30°) + 3(x + 30°) = 180°$$

$$x + x + 30° + 3x + 90° = 180°$$

$$5x + 120° = 180°$$

$$5x = 60°$$

$$x = 12°$$

Тогда первый угол $$12° + 30° = 42°$$, а третий угол $$3 \cdot (12° + 30°) = 3 \cdot 42° = 126°$$.

Наибольший угол равен 126°.

Ответ: 126°

в) Пусть длина отрезка AK равна $$x$$ см. Тогда длина KL равна $$x - 0.6$$ см, а длина LN равна $$2(x - 0.6)$$ см. Известно, что длина ломаной AKLN равна 15.6 см, то есть:

$$AK + KL + LN = 15.6$$

$$x + (x - 0.6) + 2(x - 0.6) = 15.6$$

$$x + x - 0.6 + 2x - 1.2 = 15.6$$

$$4x - 1.8 = 15.6$$

$$4x = 17.4$$

$$x = 4.35 \text{ см}$$

Ответ: 4,35 см

г) Пусть первая цифра – $$a$$, вторая – $$a - 1$$, третья – $$3(a - 1)$$, четвертая – $$a + 4$$. Тогда:

$$a + (a - 1) + 3(a - 1) + (a + 4) = 30$$

$$a + a - 1 + 3a - 3 + a + 4 = 30$$

$$6a = 30$$

$$a = 5$$

Тогда цифры числа:

• первая: 5
• вторая: $$5 - 1 = 4$$
• третья: $$3 \cdot 4 = 12$$ (не подходит, так как цифра должна быть однозначной)

Проверим другое уравнение:

$$a + a - 1 + 3(a - 1) + a + 4 = 30$$

$$a + (a - 1) + 3(a-1) + (a + 4) = 30$$

$$6a = 30$$

$$a = 5$$

Пусть вторая цифра $$х$$, тогда первая $$x + 1$$, третья $$3x$$, четвертая $$x + 5$$. Получаем:

$$x + 1 + x + 3x + x + 5 = 30$$

$$6x = 24$$

$$x = 4$$

Цифры числа:

• первая: $$4 + 1 = 5$$
• вторая: 4
• третья: $$3 \cdot 4 = 12$$ (не подходит)

Ошибка в условии. Третья цифра в 3 раза больше первой:

$$a + a - 1 + 3a + a + 4 = 30$$

$$6a + 3 = 30$$

$$6a = 27$$

$$a = 4.5$$ (не подходит, так как цифра должна быть целой)

Сумма цифр равна 15. Вторая цифра на 1 больше первой, третья в 3 раза больше второй, четвертая на 4 больше первой.

Пусть первая цифра $$a$$, тогда вторая $$a + 1$$, третья $$3(a + 1)$$, четвертая $$a + 4$$. Тогда:

$$a + (a + 1) + 3(a + 1) + (a + 4) = 30$$

$$a + a + 1 + 3a + 3 + a + 4 = 30$$

$$6a + 8 = 30$$

$$6a = 22$$

$$a = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$$ (не подходит)

Предположим, что сумма цифр равна 20.

$$a + (a - 1) + 3(a - 1) + (a + 4) = 20$$

$$a + a - 1 + 3a - 3 + a + 4 = 20$$

$$6a = 20$$

$$a = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$$ (не подходит)

Предположим, что сумма цифр равна 25.

$$a + (a - 1) + 3(a - 1) + (a + 4) = 25$$

$$a + a - 1 + 3a - 3 + a + 4 = 25$$

$$6a = 25$$

$$a = \frac{25}{6}$$ (не подходит)

Невозможно решить задачу с условием, что сумма цифр равна 30. Предположим, что опечатка в условии и сумма цифр равна 15.

$$a + (a - 1) + 3(a - 1) + (a + 4) = 15$$

$$6a = 15$$

$$a = 2.5$$ (не подходит)

Не хватает данных для решения.

Ответ: нет решения из-за противоречивых условий