Г-11 Контрольная работа по теме «Объёмы тел» 2 вариант 1) Найдите объём тела, полученного в результате вращения прямоугольной трапеции с основаниями 10 см и 25 см и большей боковой стороной 17 см. вокруг основания длиной 25 см. 2) Параллельно оси цилиндра проведено сечение, расстояние от плоскости которого до оси цилиндра равно 12 см. Диагональ сечения равна 10√5 см, а радиус основания цилиндра 13 см. Найдите объём цилиндра.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольную трапецию с основаниями $$a = 10 \text{ см}$$ и $$b = 25 \text{ см}$$ и боковой стороной $$c = 17 \text{ см}$$. Трапеция вращается вокруг основания длиной $$b = 25 \text{ см}$$. Объем тела вращения состоит из объема цилиндра с радиусом $$a = 10 \text{ см}$$ и высотой, равной разности оснований трапеции, и объема конуса с тем же радиусом и той же высотой.

   Высота цилиндра и конуса: $$h = b - a = 25 - 10 = 15 \text{ см}$$.

   Объем цилиндра: $$V_{ц} = \pi a^2 h = \pi (10^2) (15) = 1500\pi \text{ см}^3$$.

   Объем конуса: $$V_{к} = \frac{1}{3} \pi a^2 h = \frac{1}{3} \pi (10^2) (15) = 500\pi \text{ см}^3$$.

   Общий объем тела вращения: $$V = V_{ц} + V_{к} = 1500\pi + 500\pi = 2000\pi \text{ см}^3$$.

2. Пусть радиус основания цилиндра $$R = 13 \text{ см}$$, расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения $$d = 12 \text{ см}$$, а диагональ сечения $$D = 10\sqrt{5} \text{ см}$$.

   Высота сечения может быть найдена с использованием теоремы Пифагора, учитывая, что сечение представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника - это высота цилиндра $$h$$, а другая - хорда, которую отсекает сечение от основания цилиндра. Длина хорды равна $$2x$$, где $$x$$ - половина хорды.

   Длина половины хорды $$x$$ может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания, расстоянием от оси до сечения и половиной хорды: $$x = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$.

   Длина хорды равна $$2x = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$$.

   Теперь найдем высоту цилиндра $$h$$ из прямоугольного треугольника, образованного высотой, хордой и диагональю сечения: $$h = \sqrt{D^2 - (2x)^2} = \sqrt{(10\sqrt{5})^2 - 10^2} = \sqrt{500 - 100} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$$.

   Объем цилиндра: $$V = \pi R^2 h = \pi (13^2) (20) = \pi (169) (20) = 3380\pi \text{ см}^3$$.

Ответ: 1) $$2000\pi \text{ см}^3$$, 2) $$3380\pi \text{ см}^3$$