Геометрия и тригонометрия > Тригонометрия > Тригонометрические тождества. Если sin(θ) = 8/17 и θ в Q1, найдите cos(2θ).

Решение:

Для решения задачи нам понадобится основное тригонометрическое тождество и формула косинуса двойного угла.

1. Найдем значение \(
   \cos(\theta) \). Так как \( \theta \) находится в первой четверти (Q1), \( \cos(\theta) \) будет положительным. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \).
2. Подставим известное значение \( \sin(\theta) \): \( \left(\frac{8}{17}\right)^2 + \cos^2(\theta) = 1 \)
3. \( \frac{64}{289} + \cos^2(\theta) = 1 \)
4. \( \cos^2(\theta) = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289} \)
5. \( \cos(\theta) = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17} \) (так как \( \theta \) в Q1, \( \cos(\theta) > 0 \)).
6. Теперь найдем \( \cos(2\theta) \) по формуле: \( \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) \).
7. Подставим найденные значения: \( \cos(2\theta) = \left(\frac{15}{17}\right)^2 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 \)
8. \( \cos(2\theta) = \frac{225}{289} - \frac{64}{289} = \frac{225 - 64}{289} = \frac{161}{289} \).

Ответ: \( \frac{161}{289} \).