Геометрия 8 класс Самостоятельная работа по теме «Определение подобных треугольников. Свойство биссектрисы угла» Вариант 1. 1. Стороны треугольника равны 7см, 5 см и 9 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 63 см. 2. Сходственные стороны подобных треугольников равны 6см и 4 см, а сумма их площадей равна 78 см². Найдите площади этих треугольников. 3. Найдите две стороны треугольника, если их сумма равна 91 см, а биссектриса, проведенная к третьей стороне, делит эту сторону в отношении 5:8.

Привет! Сейчас мы решим эти задачи по геометрии. Не волнуйся, все получится!

Задача 1

Стороны треугольника равны 7 см, 5 см и 9 см. Нужно найти стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 63 см.

Пусть стороны подобного треугольника будут 7x, 5x и 9x. Тогда его периметр будет равен:

\[ 7x + 5x + 9x = 63 \]

Решаем уравнение:

\[ 21x = 63 \] \[ x = \frac{63}{21} \] \[ x = 3 \]

Теперь находим стороны подобного треугольника:

• Первая сторона: \( 7 \cdot 3 = 21 \) см
• Вторая сторона: \( 5 \cdot 3 = 15 \) см
• Третья сторона: \( 9 \cdot 3 = 27 \) см

Ответ: Стороны подобного треугольника: 21 см, 15 см, 27 см

Задача 2

Сходственные стороны подобных треугольников равны 6 см и 4 см, а сумма их площадей равна 78 см². Найдите площади этих треугольников.

Пусть площадь первого треугольника \( S_1 \), а площадь второго \( S_2 \). Известно, что сумма площадей равна 78 см²:

\[ S_1 + S_2 = 78 \]

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон:

\[ \frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{6}{4} \right)^2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} \]

Выразим \( S_1 \) через \( S_2 \):

\[ S_1 = \frac{9}{4} S_2 \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ \frac{9}{4} S_2 + S_2 = 78 \] \[ \frac{13}{4} S_2 = 78 \] \[ S_2 = \frac{78 \cdot 4}{13} = 6 \cdot 4 = 24 \]

Теперь найдем \( S_1 \):

\[ S_1 = 78 - 24 = 54 \]

Ответ: Площади треугольников: 54 см² и 24 см²

Задача 3

Найдите две стороны треугольника, если их сумма равна 91 см, а биссектриса, проведенная к третьей стороне, делит эту сторону в отношении 5:8.

Пусть две стороны треугольника будут a и b, а третья сторона делится биссектрисой в отношении 5:8. Тогда можно записать:

\[ a + b = 91 \]

По свойству биссектрисы треугольника, отношение сторон равно отношению отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону:

\[ \frac{a}{b} = \frac{5}{8} \]

Выразим a через b:

\[ a = \frac{5}{8} b \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ \frac{5}{8} b + b = 91 \] \[ \frac{13}{8} b = 91 \] \[ b = \frac{91 \cdot 8}{13} = 7 \cdot 8 = 56 \]

Теперь найдем a:

\[ a = 91 - 56 = 35 \]

Ответ: Две стороны треугольника: 35 см и 56 см