Гелий из состояния с температурой 100 К расширяется так, что его теплоёмкость остаётся постоянной, а давление и объём изменяются по закону p²V = const. К газу подвели 2900 Дж теплоты. Определите конечную температуру гелия (в К) и его теплоёмкость (в Дж/К), если его конечное давление вдвое меньше начального. Ответы запишите через точку с запятой в указанном в условии порядке (например, 1; 2). Единицы измерения не пишите.

Решение:

Обозначим начальное состояние индексом 1, а конечное — индексом 2.

По условию задачи:

• Начальная температура: \( T_1 = 100 \) К.
• Изменение давления: \( p_2 = \frac{1}{2} p_1 \).
• Закон изменения давления и объёма: \( p^2 V = \text{const} \).
• Подведённая теплота: \( Q = 2900 \) Дж.

Из закона \( p^2 V = \text{const} \) следует, что \( p_1^2 V_1 = p_2^2 V_2 \).

Подставим \( p_2 = \frac{1}{2} p_1 \):

\( p_1^2 V_1 = (\frac{1}{2} p_1)^2 V_2 \) \(\Rightarrow\) \( p_1^2 V_1 = \frac{1}{4} p_1^2 V_2 \) \(\Rightarrow\) \( V_2 = 4 V_1 \).

Из уравнения состояния идеального газа \( pV = \nu RT \), где \( \nu \) — количество вещества, \( R \) — универсальная газовая постоянная, следует:

\( \nu = \frac{pV}{RT} \).

Для начального состояния: \( \nu = \frac{p_1 V_1}{R T_1} \).

Для конечного состояния: \( \nu = \frac{p_2 V_2}{R T_2} \).

Так как количество вещества остаётся постоянным:

\( \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} \).

Подставим известные соотношения для \( p_2 \) и \( V_2 \):

\( \frac{p_1 V_1}{100} = \frac{(\frac{1}{2} p_1) (4 V_1)}{T_2} \) \(\Rightarrow\) \( \frac{p_1 V_1}{100} = \frac{2 p_1 V_1}{T_2} \).

Отсюда найдём конечную температуру \( T_2 \):

\( T_2 = 2 \cdot 100 = 200 \) К.

Теплоёмкость \( C \) постоянна. Первый закон термодинамики:

\( Q = \Delta U + A \), где \( \Delta U \) — изменение внутренней энергии, \( A \) — работа газа.

Для гелия (одноатомного газа) внутренняя энергия \( U = \frac{3}{2} \nu RT \), поэтому \( \Delta U = \frac{3}{2} \nu R (T_2 - T_1) \).

Работа газа при таком процессе (политропный процесс \( p^n V = \text{const} \) с \( n = 2 \)) равна:

\[ A = \frac{\nu R (T_2 - T_1)}{1 - n} = \frac{\nu R (T_2 - T_1)}{1 - 2} = -\nu R (T_2 - T_1) \]

Подставляем в первый закон термодинамики:

\[ Q = \frac{3}{2} \nu R (T_2 - T_1) - \nu R (T_2 - T_1) = (\frac{3}{2} - 1) \nu R (T_2 - T_1) = \frac{1}{2} \nu R (T_2 - T_1) \]

Мы знаем, что \( Q = 2900 \) Дж и \( T_2 - T_1 = 200 - 100 = 100 \) К.

\( 2900 = \frac{1}{2} \nu R (100) \) \(\Rightarrow\) \( 2900 = 50 \nu R \) \(\Rightarrow\) \( \nu R = \frac{2900}{50} = 58 \) Дж/К.

Теперь найдём теплоёмкость \( C \) этого процесса. Теплоёмкость связана с количеством теплоты соотношением \( Q = C \Delta T \), где \( \Delta T = T_2 - T_1 \).

\( C = \frac{Q}{T_2 - T_1} = \frac{2900}{100} = 29 \) Дж/К.

Таким образом, конечная температура гелия равна 200 К, а его теплоёмкость равна 29 Дж/К.

Ответ: 200; 29.