garifovaaa@yandex.ru Вариант 1 1. Вычислите площадь поверхности многогранника. 5 76 2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 и 5 см, угол между ними равен 60°. Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см. Найдите боковое ребро параллелепипеда. 3. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, равное 12 см, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 4. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если стороны нижнего и верхнего оснований равны соответственно 8 и 6 см, а боковое ребро равно 5 см. Вариант 2 1. Вычислите площадь поверхности многогранника. 4 6 2. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями 6 и 8 см. Диагональ боковой грани равна параллелепипеда. √61 см. Определите большую диагональ 3. Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см. Определите полную поверхность пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. 4. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если стороны нижнего и верхнего оснований равны соответственно 10 и 6 см, а боковое ребро равно 8 см. garifovaaa@yandex.ru Вариант 3 1. Вычислите объём и площа поверхности многогранника. D1 C A3 B3 1 D D C 1 C₁ A A2 B B 1 ID C B 3 3 2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 812 дм, высота пирамиды - 15 дм. Вычислите длину бокового ребра. 3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 см и 4 см, угол между ними 120°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Вычислите: а) длину высоты параллелепипеда; б) площадь большей боковой грани. 4. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны соответственно 24см 8 см, а высота 15 см. Вычислить площадь полной поверхности пирамиды. • РЕКЛАМA 0+ ISPRING.INSTITUTE Решил стать программистом? ...

Привет! Давай разберем задачи по геометрии. Здесь у нас три варианта, и в каждом есть интересные задания. Начнем с первого варианта. Вариант 1 1. Вычислите площадь поверхности многогранника. (К сожалению, нет рисунка, невозможно решить) 2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 и 5 см, угол между ними равен 60°. Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см. Найдите боковое ребро параллелепипеда. Сначала найдем диагональ основания параллелепипеда. Используем теорему косинусов: \[d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha)\] Подставляем значения: a = 3 см, b = 5 см, \(\alpha = 60^\circ\). \[d^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ) = 9 + 25 - 30 \cdot 0.5 = 34 - 15 = 19\] Значит, \(d = \sqrt{19}\) см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большой диагональю параллелепипеда (10 см), диагональю основания (\(\sqrt{19}\) см) и боковым ребром (h). Используем теорему Пифагора: \[10^2 = (\sqrt{19})^2 + h^2\] \[100 = 19 + h^2\] \[h^2 = 81\] \[h = 9\] Боковое ребро параллелепипеда равно 9 см.

Ответ: 9 см

3. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, равное 12 см, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Пусть боковое ребро равно \(l = 12\) см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен \(\alpha = 60^\circ\). Сначала найдем половину диагонали основания \(x\) и высоту пирамиды \(h\): \[\cos(60^\circ) = \frac{x}{l}\] \[x = l \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot 0.5 = 6\ \text{см}\] Так как основание - квадрат, то диагональ основания \(d = 2x = 12\) см. Сторона основания \(a\) равна: \[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}\ \text{см}\] Теперь найдем апофему \(m\) (высоту боковой грани). Сначала найдем высоту пирамиды \(h\): \[\sin(60^\circ) = \frac{h}{l}\] \[h = l \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\ \text{см}\] Апофему \(m\) найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой: \[m^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = (6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 108 + 18 = 126\] \[m = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}\ \text{см}\] Площадь боковой поверхности равна: \[S = \frac{1}{2} P m = \frac{1}{2} (4a) m = 2 a m = 2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{14} = 36 \sqrt{28} = 72 \sqrt{7}\ \text{см}^2\]

Ответ: 72 \(\sqrt{7}\) см²

4. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если стороны нижнего и верхнего оснований равны соответственно 8 и 6 см, а боковое ребро равно 5 см. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды состоит из площадей четырех равнобедренных трапеций. Высоту трапеции найдем по теореме Пифагора: \(h^2 = a^2 - (\frac{b-a}{2})^2\), где \(a\) - боковое ребро, \(b\) и \(c\) - стороны оснований. В нашем случае, \(a = 5\), \(b = 8\), \(c = 6\). Тогда высота трапеции \[h = \sqrt{5^2 - (\frac{8-6}{2})^2} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\ \text{см}\] Площадь одной трапеции равна: \[S_{\text{трап}} = \frac{b + c}{2} h = \frac{8 + 6}{2} \cdot 2\sqrt{6} = 14\sqrt{6}\ \text{см}^2\] Площадь боковой поверхности: \[S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{трап}} = 4 \cdot 14\sqrt{6} = 56\sqrt{6}\ \text{см}^2\]

Ответ: 56 \(\sqrt{6}\) см²

Вариант 2 1. Вычислите площадь поверхности многогранника. (К сожалению, нет рисунка, невозможно решить) 2. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями 6 и 8 см. Диагональ боковой грани равна \(\sqrt{61}\) см. Определите большую диагональ параллелепипеда. Найдем сторону ромба, лежащего в основании параллелепипеда: \[a = \frac{\sqrt{d_1^2 + d_2^2}}{2} = \frac{\sqrt{6^2 + 8^2}}{2} = \frac{\sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{\sqrt{100}}{2} = 5 \ \text{см}\] Рассмотрим боковую грань, диагональ которой равна \(\sqrt{61}\). По теореме Пифагора найдем боковое ребро: \[h = \sqrt{(\sqrt{61})^2 - a^2} = \sqrt{61 - 5^2} = \sqrt{61 - 25} = \sqrt{36} = 6 \ \text{см}\] Теперь найдем большую диагональ параллелепипеда. Обозначим диагонали основания как \(d_1 = 6\) и \(d_2 = 8\). Тогда большая диагональ параллелепипеда равна: \[D = \sqrt{d_2^2 + h^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \ \text{см}\]

Ответ: 10 см

3. Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см. Определите полную поверхность пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Высота боковой грани (апофема) \(m = 10\) см. Пусть угол наклона боковой грани к основанию \(\alpha = 60^\circ\). Тогда половина стороны основания \(x\) равна: \[x = m \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot 0.5 = 5 \ \text{см}\] Сторона основания \(a = 2x = 10\) см. Площадь основания \(S_{\text{осн}} = a^2 = 10^2 = 100 \ \text{см}^2\). Высота пирамиды \(h\) равна: \[h = m \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \ \text{см}\] Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P m = \frac{1}{2} (4a) m = 2 a m = 2 \cdot 10 \cdot 10 = 200 \ \text{см}^2\). Полная поверхность пирамиды: \[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 100 + 200 = 300 \ \text{см}^2\]

Ответ: 300 см²

4. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если стороны нижнего и верхнего оснований равны соответственно 10 и 6 см, а боковое ребро равно 8 см. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды состоит из площадей четырех равнобедренных трапеций. Высоту трапеции найдем по теореме Пифагора: \(h^2 = a^2 - (\frac{b-a}{2})^2\), где \(a\) - боковое ребро, \(b\) и \(c\) - стороны оснований. В нашем случае, \(a = 8\), \(b = 10\), \(c = 6\). Тогда высота трапеции \[h = \sqrt{8^2 - (\frac{10-6}{2})^2} = \sqrt{64 - 4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}\ \text{см}\] Площадь одной трапеции равна: \[S_{\text{трап}} = \frac{b + c}{2} h = \frac{10 + 6}{2} \cdot 2\sqrt{15} = 16\sqrt{15}\ \text{см}^2\] Площадь боковой поверхности: \[S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{трап}} = 4 \cdot 16\sqrt{15} = 64\sqrt{15}\ \text{см}^2\]

Ответ: 64 \(\sqrt{15}\) см²

Вариант 3 1. Вычислите объём и площадь поверхности многогранника. (К сожалению, нет рисунка, невозможно решить) 2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 8\(\sqrt{2}\) дм, высота пирамиды - 15 дм. Вычислите длину бокового ребра. Пусть сторона основания \(a = 8\sqrt{2}\) дм, высота пирамиды \(h = 15\) дм. Сначала найдем половину диагонали основания \(x\): \[x = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{8 \cdot 2}{2} = 8 \ \text{дм}\] Теперь найдем боковое ребро \(l\) по теореме Пифагора: \[l = \sqrt{h^2 + x^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \ \text{дм}\]

Ответ: 17 дм

3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 см и 4 см, угол между ними 120°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Вычислите: а) длину высоты параллелепипеда; б) площадь большей боковой грани. a) Сначала найдем большую диагональ основания \(d_b\) по теореме косинусов: \[d_b^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos(\alpha)\] \(\alpha = 120^\circ\), \(\cos(120^\circ) = -0.5\), \(a = 3\), \(b = 4\). \[d_b^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (-0.5) = 9 + 16 + 12 = 37\] \[d_b = \sqrt{37} \ \text{см}\] Меньшая диагональ параллелепипеда равна \(\sqrt{37}\). Пусть высота параллелепипеда \(h\). Тогда: \[(\sqrt{37})^2 = d_s^2 + h^2\] Найдем малую диагональ основания \[d_s^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos(\alpha)\] \(\alpha = 60^\circ\), \(\cos(60^\circ) = 0.5\), \(a = 3\), \(b = 4\). \[d_s^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (0.5) = 9 + 16 - 12 = 13\] \[d_s = \sqrt{13} \ \text{см}\] Подставляем в первое уравнение \[(\sqrt{37})^2 = (\sqrt{13})^2 + h^2\] \[37 = 13 + h^2\] \[h^2 = 24\] \[h = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \ \text{см}\] b) Площадь большей боковой грани \(S = b \cdot h = 4 \cdot 2\sqrt{6} = 8\sqrt{6} \ \text{см}^2\).

Ответ: а) 2\(\sqrt{6}\) см; б) 8\(\sqrt{6}\) см²

4. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны соответственно 24см 8 см, а высота 15 см. Вычислить площадь полной поверхности пирамиды. Пусть \(a = 24\) см, \(b = 8\) см, \(h = 15\) см. Площадь нижнего основания \(S_1 = a^2 = 24^2 = 576 \ \text{см}^2\). Площадь верхнего основания \(S_2 = b^2 = 8^2 = 64 \ \text{см}^2\). Апофему \(m\) найдем по теореме Пифагора: \[m = \sqrt{h^2 + (\frac{a - b}{2})^2} = \sqrt{15^2 + (\frac{24 - 8}{2})^2} = \sqrt{225 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \ \text{см}\] Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{a + b}{2} \cdot m = 2 (a + b) m = 2 \cdot (24 + 8) \cdot 17 = 2 \cdot 32 \cdot 17 = 1088 \ \text{см}^2\). Полная поверхность пирамиды \(S = S_1 + S_2 + S_{\text{бок}} = 576 + 64 + 1088 = 1728 \ \text{см}^2\).

Ответ: 1728 см²

Отличная работа! Ты хорошо справляешься с геометрией. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!