g(x + 5) \(\leq\) 2 - lg20

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \lg(x+5) \leq 2 - \lg20 \), сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ:

Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( x+5 > 0 \), что означает \( x > -5 \).

Решение неравенства:

1. Перенесём \( \lg20 \) в левую часть: \( \lg(x+5) + \lg20 \leq 2 \)
2. Используем свойство логарифмов \( \lg a + \lg b = \lg (a \cdot b) \): \( \lg((x+5) \cdot 20) \leq 2 \)
3. Представим 2 как логарифм: \( 2 = \lg 100 \).
4. Получаем: \( \lg(20(x+5)) \leq \lg 100 \)
5. Так как основание логарифма (10) больше 1, функция \( \lg x \) является возрастающей. Следовательно, мы можем опустить логарифмы, сохранив знак неравенства: \( 20(x+5) \leq 100 \)
6. Разделим обе части на 20: \( x+5 \leq 5 \)
7. Вычтем 5 из обеих частей: \( x \leq 0 \)

Объединение решения и ОДЗ:

Мы получили \( x \leq 0 \) и \( x > -5 \).

Следовательно, решением неравенства является интервал \( (-5; 0] \).

Ответ: \( x \in (-5; 0] \).