Функция z = (x – 1)3 + (у – 2)3 имеет

Решение:

Для определения характера точки \( (1, 2) \) найдём частные производные функции \( z = (x - 1)^3 + (y - 2)^3 \) по \( x \) и \( y \).

Частная производная по \( x \):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3(x - 1)^2 \cdot 1 = 3(x - 1)^2 \]

Частная производная по \( y \):

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 3(y - 2)^2 \cdot 1 = 3(y - 2)^2 \]

Приравняем частные производные к нулю, чтобы найти стационарные точки:

\[ 3(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1 \]

и

\[ 3(y - 2)^2 = 0 \implies y - 2 = 0 \implies y = 2 \]

Таким образом, стационарная точка имеет координаты \( (1, 2) \). Теперь найдём вторые частные производные:

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6(x - 1) \]

\( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 6(y - 2) \)

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0 \]

Вычислим значение дискриминанта \( D \) в точке \( (1, 2) \):

\[ D = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right)^2 \]

В точке \( (1, 2) \):

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \bigg|_{(1,2)} = 6(1 - 1) = 0 \]

\( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \bigg|_{(1,2)} = 6(2 - 2) = 0 \)

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \bigg|_{(1,2)} = 0 \]

Следовательно,

\[ D = 0 \cdot 0 - 0^2 = 0 \]

Поскольку \( D = 0 \), этот критерий не позволяет определить характер точки. Однако, анализируя функцию \( z = (x - 1)^3 + (y - 2)^3 \), можно заметить, что при \( x > 1 \) и \( y > 2 \), \( z > 0 \). При \( x < 1 \) и \( y < 2 \), \( z < 0 \). Точка \( (1, 2) \) является седловой точкой, а не точкой минимума или максимума.

Функция имеет стационарную точку в \( (1, 2) \).

Ответ: стационарную точку (1, 2)