Функция ... является первообразной для функции f(x) = sin 2x

Решение:

Чтобы найти первообразную для функции \( f(x) = \sin 2x \), нужно проинтегрировать эту функцию.

Первообразная \( F(x) \) находится как интеграл от \( f(x) \):

\[ F(x) = \int \sin 2x \, dx \]

Используем замену переменной. Пусть \( u = 2x \), тогда \( du = 2 \, dx \), или \( dx = \frac{1}{2} du \).

\[ F(x) = \int \sin u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sin u \, du \]

Интеграл от \( \sin u \) равен \( -\cos u \).

\[ F(x) = \frac{1}{2} (-\cos u) + C = -\frac{1}{2} \cos u + C \]

Подставим обратно \( u = 2x \):

\[ F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + C \]

где \( C \) — произвольная постоянная. Если \( C = 0 \), то первообразная будет \( F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \).

Проверим, дифференцируя полученную функцию:

\[ \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = \sin 2x \]

Результат совпадает с исходной функцией \( f(x) \).

Среди предложенных вариантов ищем тот, который соответствует \( F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + C \).

Ответ: \( F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \)