Функция y = f(x) задана своим графиком (см. рис.). Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях x f(x) ≥ 1; в) при каких значениях x f'(x) > 0, f'(x) < 0; г) координаты точек графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение:

Рассмотрим график функции.

а) Область определения функции:

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента \( x \). По графику видно, что функция определена для всех \( x \) от -4 до 3. Поэтому область определения: \( D(f) = [-4; 3] \).

б) При каких значениях \( x \) \( f(x) \ge 1 \):

По графику находим значения \( x \), для которых \( f(x) \ge 1 \). Это промежуток от -4 до -2, включая концы.

Ответ: \( x ∈ [-4; -2] \).

в) При каких значениях \( x \) \( f'(x) > 0 \) и \( f'(x) < 0 \):

Производная \( f'(x) \) положительна там, где функция возрастает, и отрицательна там, где функция убывает.

• Функция возрастает на промежутке \( (-4; -1) \). Следовательно, \( f'(x) > 0 \) при \( x ∈ (-4; -1) \).
• Функция убывает на промежутке \( (-1; 2) \). Следовательно, \( f'(x) < 0 \) при \( x ∈ (-1; 2) \).

г) Координаты точек графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс:

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, если её угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в этой точке. Значит, нам нужно найти точки, где \( f'(x) = 0 \). Это точки экстремума функции.

По графику видно, что экстремумы (точка максимума и точка минимума) находятся в точках \( x = -1 \) и \( x = 2 \).

• В точке \( x = -1 \), \( f(-1) = 1 \). Координаты точки: \( (-1; 1) \).
• В точке \( x = 2 \), \( f(2) = -2 \). Координаты точки: \( (2; -2) \).

д) Наибольшее и наименьшее значения функции:

Наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке \( [-4; 3] \) достигаются либо в точках экстремума, либо на концах промежутка.

• Значения функции на концах промежутка: \( f(-4) = 0 \), \( f(3) = 0 \).
• Значения функции в точках экстремума: \( f(-1) = 1 \), \( f(2) = -2 \).

Сравнивая эти значения: \( 0, 1, -2, 0 \). Наибольшее значение равно 1, наименьшее — -2.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 1, наименьшее значение функции равно -2.