Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b]. В некоторой внутренней точке x0 ∈ (a, b) существует конечный предел lim (∆x→0) [ (f(x0+∆x) - f(x0-∆x)) / (2∆x) ]. Следует ли из этого, что функция дифференцируема в точке x0?

Решение:

В данном случае речь идет о существовании так называемого симметричного производного или центрального отношения разности. Это отношение разности стремится к конечному пределу. Однако, существование этого предела не является достаточным условием для дифференцируемости функции в точке.

Дифференцируемость функции в точке x0 определяется существованием предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

В приведенном условиям пределе используется f(x0-∆x) вместо f(x0), что делает его слабым условием. Пример функции, где симметричный предел существует, а производная нет, — это функция f(x) = |x| в точке x0 = 0.

Поэтому, существование такого симметричного предела не гарантирует существования обычной производной f'(x0).

Правильный ответ: с. Нет, существование такого симметричного предела (производной в симметричном смысле) не гарантирует существования обычной производной f'(x0). Это более слабое условие.