Функция G(x) = ln|5x| является первообразной для функции g(x) = 1/x на промежутке x > 0. Используя основную теорему о первообразных, запишите общий вид неопределенного интеграла. Какой из следующих выводов является верным с учетом заданной первообразной G(x) ? Выберите один ответ:

Решение:

Согласно основной теореме о первообразных, общий вид неопределенного интеграла от функции \( g(x) = \frac{1}{x} \) равен \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.

По условию, \( G(x) = \ln|5x| \) является первообразной для \( g(x) \). Проверим это, взяв производную от \( G(x) \):

\( G'(x) = (\ln|5x|)' = \frac{1}{5x} \cdot (5x)' = \frac{1}{5x} \cdot 5 = \frac{1}{x} \).

Таким образом, \( G(x) = \ln|5x| \) действительно является первообразной для \( g(x) = \frac{1}{x} \).

Рассмотрим варианты ответов:

• a. \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|5x| + C = \ln|x| + (\ln 5 + C) = \ln|x| + C_1 \), где \( C_1 \) — произвольная постоянная.

Эта формула верна, так как \( \ln|5x| = \ln 5 + \ln|x| \). В этом случае \( C_1 = \ln 5 + C \), и \( C_1 \) также является произвольной постоянной.

• b. \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|5x| + C \), но это неверно, так как производная \( \ln|5x| \) равна \( \frac{5}{5x} = \frac{1}{x} \), но константа 5 должна быть вынесена за знак логарифма.

Это неверное утверждение. Константа \( 5 \) не выносится за знак логарифма таким образом.

• c. \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \), а функция \( \ln|5x| \) не является первообразной для \( \frac{1}{x} \).

Это неверно, так как мы уже показали, что \( \ln|5x| \) является первообразной.

• d. \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|5x| + C \), и это окончательный ответ, который нельзя упростить.

Это утверждение частично верно, так как \( \ln|5x| + C \) является одним из возможных видов первообразной. Однако, вариант 'a' предлагает более полное разложение, показывающее связь с табличной первообразной \( \ln|x| \).

Ответ: a