Функция f(x) имеет в точке х=3 разрыв первого рода, причем f(3) = 5, limx→3-0 f(x) = 1, limx→3+0 f(x) = 1. Какой вывод корректен?

Анализ условия:

Дано, что функция \( f(x) \) имеет разрыв первого рода в точке \( x=3 \). Это означает, что односторонние пределы в этой точке существуют, но не равны друг другу, либо один из них не существует. Однако, нам даны значения односторонних пределов: \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = 1 \) и \( \lim_{x \to 3^+} f(x) = 1 \).

Противоречие:

Если односторонние пределы равны и существуют, то функция непрерывна в этой точке, либо имеет устранимый разрыв (если \( f(3) \) не определено или не равно пределу).

В данном случае:

• \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = 1 \)
• \( \lim_{x \to 3^+} f(x) = 1 \)
• \( f(3) = 5 \)

Так как \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = 1 \), то \( \lim_{x \to 3} f(x) = 1 \).

Однако \( \lim_{x \to 3} f(x) \neq f(3) \) (\( 1 \neq 5 \)), что указывает на устранимый разрыв, а не разрыв первого рода, как указано в условии.

Оценка вариантов ответа:

• a. x=3 — точка разрыва второго рода. Неверно. Разрыв второго рода означает, что хотя бы один односторонний предел не существует (равен бесконечности или не существует вовсе).
• b. Заданная информация противоречива; если односторонние пределы равны 1, то х=3 — точка устранимого разрыва, а не первого рода. Верно. Условие противоречит само себе, так как равенство односторонних пределов при \( f(3)=5 \) указывает на устранимый разрыв, а не разрыв первого рода.
• c. Функция непрерывна справа в точке х=3. Неверно. Для непрерывности справа нужно, чтобы \( \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) \), что не выполняется (\( 1 \neq 5 \)).
• d. Величина скачка функции равна 4. Неверно. Скачок функции в точке разрыва первого рода определяется как \( \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \). В данном случае \( 1 - 1 = 0 \), что не равно 4.

Ответ: b. Заданная информация противоречива; если односторонние пределы равны 1, то х=3 точка устранимо разрыва, а не первого рода.