13. Физический смысл определённого интеграла Треугольная пластинка с основанием 0,2 м и высотой 0,5 м погружена вертикально в воду так, что её вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Определи силу давления воды на пластинку. Ответ (округли с точностью до целых): P

Ответ: 82 кг

Разбираемся:

Давление жидкости на глубине h определяется формулой: \[P = \rho g h\] где:

• \(\rho\) - плотность жидкости (для воды \(\rho = 1000 \frac{кг}{м^3}\));
• g - ускорение свободного падения (приблизительно \(9.8 \frac{м}{с^2}\));
• h - глубина.

Для треугольной пластинки, погруженной вертикально, силу давления можно найти интегрированием давления по площади:

\[F = \int P dA = \int \rho g h dA\]

В данном случае, удобно выразить площадь как функцию глубины. Ширина треугольника на глубине h будет \(w = 0.2 - 0.4h\) (так как при h=0 ширина 0.2 м, а при h=0.5 ширина равна 0).

Площадь элементарного горизонтального участка на глубине h равна \(dA = w dh = (0.2 - 0.4h) dh\).

Теперь можно вычислить силу давления:

\[F = \int_0^{0.5} \rho g h (0.2 - 0.4h) dh = \rho g \int_0^{0.5} (0.2h - 0.4h^2) dh\]

Вычислим интеграл: \[\int_0^{0.5} (0.2h - 0.4h^2) dh = \left[0.1h^2 - \frac{0.4}{3}h^3\right]_0^{0.5} = 0.1(0.5)^2 - \frac{0.4}{3}(0.5)^3 = 0.025 - \frac{0.4}{3} \cdot 0.125 = 0.025 - \frac{0.05}{3} = \frac{0.075 - 0.05}{3} = \frac{0.025}{3}\]

Тогда сила давления равна: \[F = 1000 \cdot 9.8 \cdot \frac{0.025}{3} = \frac{9800 \cdot 0.025}{3} = \frac{245}{3} ≈ 81.67 Н\]

Округляем до целых: F ≈ 82 Н

Ответ: 82 кг