Ф.И. Вариант 2. Решите неравенства: 1. x² − 3x − 10 < 0 2. 2x² − 9x + 4 > 0 3. −x² + 3x + 4 > 0 4. −3x² + 10x − 3 ≤ 0 5. x² − 8x + 16 ≥ 0 6. 4x² − 7x − 2 ≤ 0

Решение неравенств:

1. x² - 3x - 10 < 0

Сначала найдем корни квадратного уравнения x² - 3x - 10 = 0. Для этого воспользуемся дискриминантом:

D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (3 + √49) / (2 * 1) = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (3 - √49) / (2 * 1) = (3 - 7) / 2 = -4 / 2 = -2

Теперь определим интервалы, где неравенство x² - 3x - 10 < 0 выполняется. Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения.

Таким образом, решение неравенства: -2 < x < 5

Ответ: -2 < x < 5

2. 2x² - 9x + 4 > 0

Найдем корни квадратного уравнения 2x² - 9x + 4 = 0:

D = b² - 4ac = (-9)² - 4 * 2 * 4 = 81 - 32 = 49

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (9 + √49) / (2 * 2) = (9 + 7) / 4 = 16 / 4 = 4

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (9 - √49) / (2 * 2) = (9 - 7) / 4 = 2 / 4 = 0.5

Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Значит, вне корней функция принимает положительные значения.

Таким образом, решение неравенства: x < 0.5 или x > 4

Ответ: x < 0.5 или x > 4

3. -x² + 3x + 4 > 0

Умножим неравенство на -1, чтобы изменить знак коэффициента при x²: x² - 3x - 4 < 0

Найдем корни квадратного уравнения x² - 3x - 4 = 0:

D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (3 + √25) / (2 * 1) = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (3 - √25) / (2 * 1) = (3 - 5) / 2 = -2 / 2 = -1

Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения.

Таким образом, решение неравенства: -1 < x < 4

Ответ: -1 < x < 4

4. -3x² + 10x - 3 ≤ 0

Умножим неравенство на -1, чтобы изменить знак коэффициента при x²: 3x² - 10x + 3 ≥ 0

Найдем корни квадратного уравнения 3x² - 10x + 3 = 0:

D = b² - 4ac = (-10)² - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (10 + √64) / (2 * 3) = (10 + 8) / 6 = 18 / 6 = 3

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (10 - √64) / (2 * 3) = (10 - 8) / 6 = 2 / 6 = 1/3

Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Значит, вне корней функция принимает положительные значения.

Таким образом, решение неравенства: x ≤ 1/3 или x ≥ 3

Ответ: x ≤ 1/3 или x ≥ 3

5. x² - 8x + 16 ≥ 0

Найдем корни квадратного уравнения x² - 8x + 16 = 0:

D = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 1 * 16 = 64 - 64 = 0

x = (-b) / (2a) = (8) / (2 * 1) = 8 / 2 = 4

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень. Парабола касается оси x в точке x = 4. Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Значит, функция принимает положительные значения везде, кроме точки касания.

Таким образом, решение неравенства: x ∈ (-∞, +∞)

Ответ: x ∈ (-∞, +∞)

6. 4x² - 7x - 2 ≤ 0

Найдем корни квадратного уравнения 4x² - 7x - 2 = 0:

D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 4 * (-2) = 49 + 32 = 81

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (7 + √81) / (2 * 4) = (7 + 9) / 8 = 16 / 8 = 2

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (7 - √81) / (2 * 4) = (7 - 9) / 8 = -2 / 8 = -1/4

Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения.

Таким образом, решение неравенства: -1/4 ≤ x ≤ 2

Ответ: -1/4 ≤ x ≤ 2

Отличная работа! Ты уверенно справился с решением неравенств. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!