Find the maximum and minimum values of the function: $$f(x) = -x^3 + 9x^2 - 24x + 10 \text{ on } [-1;3]$$

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, необходимо найти значения функции в критических точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 9x^2 - 24x + 10) = -3x^2 + 18x - 24 \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( -3x^2 + 18x - 24 = 0 \). Разделим на -3: \( x^2 - 6x + 8 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение: \( (x-2)(x-4) = 0 \). Корни: \( x = 2 \) и \( x = 4 \).
4. Проверим, попадают ли критические точки в заданный отрезок \( [-1;3] \). Точка \( x = 2 \) попадает в отрезок. Точка \( x = 4 \) не попадает в отрезок.
5. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попадающей в отрезок:
• При \( x = -1 \): \( f(-1) = -(-1)^3 + 9(-1)^2 - 24(-1) + 10 = -(-1) + 9(1) + 24 + 10 = 1 + 9 + 24 + 10 = 44 \).
• При \( x = 2 \): \( f(2) = -(2)^3 + 9(2)^2 - 24(2) + 10 = -8 + 9(4) - 48 + 10 = -8 + 36 - 48 + 10 = -10 \).
• При \( x = 3 \): \( f(3) = -(3)^3 + 9(3)^2 - 24(3) + 10 = -27 + 9(9) - 72 + 10 = -27 + 81 - 72 + 10 = -8 \).
6. Сравним полученные значения: 44, -10, -8.

Наибольшее значение функции равно 44, наименьшее — -10.

Ответ: Наибольшее значение функции: 44, Наименьшее значение функции: -10.