5. Финансовые рынки и риск Инвестор рассматривает два актива: А с ожидаемой доходностью 10% и стандартным отклонением 5%, В 15% и 10%. Корреляция между ними 0.5. Постройте портфель с минимальным риском и рассчитайте его ожидаемую доходность и волатильность. Объясните концепцию диверсификации. Подсказка: Используйте модель Марковица: ор=V(w_A²o_A² + w_Ba_B² 2w_Aw_Bo_A а. В р). Минимизируйте риск.

Ответ: Доля актива A 66.67%, доля актива B 33.33%. Ожидаемая доходность портфеля 11.67%, волатильность 4.17%.

Разбираемся:

• Исходные данные:
  • Актив A: ожидаемая доходность 10%, стандартное отклонение 5%
  • Актив B: ожидаемая доходность 15%, стандартное отклонение 10%
  • Корреляция между активами: 0.5
• Оптимальный портфель:
  • Пусть w_A - доля актива A, w_B - доля актива B. Тогда w_A + w_B = 1.
  • Волатильность портфеля: \[\sigma_p = \sqrt{w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2 w_A w_B \rho \sigma_A \sigma_B}\]
  • Подставим значения: \[\sigma_p = \sqrt{w_A^2 (0.05)^2 + (1-w_A)^2 (0.1)^2 + 2 w_A (1-w_A) (0.5) (0.05) (0.1)}\]
  • Минимизируем риск: для этого возьмем производную по w_A и приравняем к нулю.
    • \frac{d \sigma_p}{d w_A} = 0\]
    • После решения уравнения получим: w_A = 0.6667, w_B = 0.3333
  • Доля актива A: 66.67%, доля актива B: 33.33%
• Ожидаемая доходность портфеля:
  • \[E(r_p) = w_A E(r_A) + w_B E(r_B) = 0.6667 \cdot 0.1 + 0.3333 \cdot 0.15 = 0.1167 = 11.67\%\]
• Волатильность портфеля:
  • \sigma_p = \sqrt{(0.6667)^2 (0.05)^2 + (0.3333)^2 (0.1)^2 + 2 (0.6667) (0.3333) (0.5) (0.05) (0.1)} = 0.0417 = 4.17%\]

Ответ: Доля актива A 66.67%, доля актива B 33.33%. Ожидаемая доходность портфеля 11.67%, волатильность 4.17%.