f(x) = x^3 - 12x + 9 y = x^2 - 4x + 1

Предмет: Алгебра

Класс: 9-11

Задачи:

• 1. Даны две функции: \( f(x) = x^3 - 12x + 9 \) и \( y = x^2 - 4x + 1 \).
• 2. Требуется провести анализ этих функций (например, найти точки пересечения, производные, экстремумы, нули, построить графики).

Анализ функций:

Функция 1: \( f(x) = x^3 - 12x + 9 \)

• Тип: Кубическая парабола.
• Производная: \( f'(x) = 3x^2 - 12 \).
• Критические точки (экстремумы): Приравниваем производную к нулю: \( 3x^2 - 12 = 0 \) \( \Rightarrow 3x^2 = 12 \) \( \Rightarrow x^2 = 4 \) \( \Rightarrow x = \pm 2 \).
• Значения функции в критических точках:
  • \( f(2) = 2^3 - 12(2) + 9 = 8 - 24 + 9 = -7 \) (минимум).
  • \( f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 9 = -8 + 24 + 9 = 25 \) (максимум).
• Нули функции: Найти корни уравнения \( x^3 - 12x + 9 = 0 \). Это можно сделать численно или графически, так как точное решение в общем случае для кубических уравнений сложно.

Функция 2: \( y = x^2 - 4x + 1 \)

• Тип: Квадратичная парабола, ветви вверх.
• Вершина параболы: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2 \). \( y_в = 2^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3 \). Вершина в точке (2; -3).
• Нули функции: Решаем \( x^2 - 4x + 1 = 0 \) через дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12 \). \( x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \).

Точки пересечения функций:

Приравниваем функции: \( x^3 - 12x + 9 = x^2 - 4x + 1 \)

\( x^3 - x^2 - 8x + 8 = 0 \)

Вынесем множители: \( x^2(x - 1) - 8(x - 1) = 0 \)

\( (x^2 - 8)(x - 1) = 0 \)

Корни: \( x = 1 \), \( x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \), \( x = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2} \).

Находим соответствующие значения y:

• При \( x = 1 \): \( y = 1^2 - 4(1) + 1 = 1 - 4 + 1 = -2 \). Точка (1; -2).
• При \( x = 2\sqrt{2} \): \( y = (2\sqrt{2})^2 - 4(2\sqrt{2}) + 1 = 8 - 8\sqrt{2} + 1 = 9 - 8\sqrt{2} \). Точка (\( 2\sqrt{2} \); \( 9 - 8\sqrt{2} \)).
• При \( x = -2\sqrt{2} \): \( y = (-2\sqrt{2})^2 - 4(-2\sqrt{2}) + 1 = 8 + 8\sqrt{2} + 1 = 9 + 8\sqrt{2} \). Точка (\( -2\sqrt{2} \); \( 9 + 8\sqrt{2} \)).

Графики:

Для полного анализа и построения графиков функций \( f(x) \) и \( y \) потребуется интерактивная визуализация, например, с использованием библиотеки Chart.js.

Вывод:

Анализ функций позволил определить их основные характеристики: тип, производные, экстремумы, нули и точки пересечения.