f(x) = sqrt(x) - 2ln(x) f'(x) = f''(x) =

Решение:

Найдем первую и вторую производные функции \( f(x) = \sqrt{x} - 2\ln{x} \).

1. Первая производная \( f'(x) \):

• Производная от \( \sqrt{x} \) (или \( x^{1/2} \)) равна \( \frac{1}{2}x^{-1/2} \) или \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
• Производная от \( -2\ln{x} \) равна \( -2 \cdot \frac{1}{x} \) или \( -\frac{2}{x} \).

Таким образом, \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x} \).

2. Вторая производная \( f''(x) \):

• Найдем производную от \( \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}x^{-1/2} \). Производная равна \( \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = -\frac{1}{4}x^{-3/2} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} \).
• Найдем производную от \( -\frac{2}{x} = -2x^{-1} \). Производная равна \( -2 \cdot (-1)x^{-2} = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2} \).

Таким образом, \( f''(x) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} + \frac{2}{x^2} \).

Ответ:

\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x} \)

\( f''(x) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} + \frac{2}{x^2} \)