f'(x)= - cosx . (2+tgx) - cosx . (2+tgx)' / (2+tgx)^2 = -sinx . (2+tgx) - cosx . CO / (2+tgx)^2

Решение:

Производная функции \( f(x) = \frac{\cos x}{2 + \operatorname{tg} x} \) находится по правилу дифференцирования частного:

\( f'(x) = \frac{(\cos x)'(2 + \operatorname{tg} x) - \cos x (2 + \operatorname{tg} x)'}{(2 + \operatorname{tg} x)^2} \)

Найдем производные составляющих:

• \( (\cos x)' = -\sin x \)
• \( (2 + \operatorname{tg} x)' = (2)' + (\operatorname{tg} x)' = 0 + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \)

Подставим найденные производные в формулу:

\[ f'(x) = \frac{(-\sin x)(2 + \operatorname{tg} x) - \cos x (\frac{1}{\cos^2 x})}{(2 + \operatorname{tg} x)^2} \]

Упростим второе слагаемое в числителе:

\[ \cos x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x} = \operatorname{sec} x \]

Тогда:

\[ f'(x) = \frac{-\sin x (2 + \operatorname{tg} x) - \operatorname{sec} x}{(2 + \operatorname{tg} x)^2} \]

В исходной записи есть неточность: \( (2+tgx)' \) было заменено на \( cosx \) в числителе, что неверно.

Если предположить, что \( (2+tgx)' \) было вычислено и подставлено как \( \frac{1}{\cos^2 x} \), то:

\[ f'(x) = \frac{(-\sin x)(2 + \operatorname{tg} x) - \cos x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}{(2 + \operatorname{tg} x)^2} = \frac{-\sin x (2 + \operatorname{tg} x) - \frac{1}{\cos x}}{(2 + \operatorname{tg} x)^2} = \frac{-\sin x (2 + \operatorname{tg} x) - \operatorname{sec} x}{(2 + \operatorname{tg} x)^2} \]

Если же второй член числителя после знака минус должен быть \( -\cos x \cdot \text{CO} \), то \( \text{CO} \) не является производной от \( (2+tgx) \).

Продолжим упрощение, раскрыв скобки в числителе:

\[ -\sin x (2 + \operatorname{tg} x) = -2\sin x - \sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = -2\sin x - \frac{\sin^2 x}{\cos x} \]

Таким образом:

\[ f'(x) = \frac{-2\sin x - \frac{\sin^2 x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x}}{(2 + \operatorname{tg} x)^2} = \frac{\frac{-2\sin x \cos x - \sin^2 x - 1}{\cos x}}{(2 + \operatorname{tg} x)^2} = \frac{-2\sin x \cos x - (\sin^2 x + 1)}{\cos x (2 + \operatorname{tg} x)^2} \]

Учитывая, что \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), мы можем выразить \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \). Однако, это не упрощает выражение в числителе напрямую.

Рассмотрим более внимательно вторую часть равенства, которая дана как:

\[ = \frac{-\sin x \cdot (2 + \operatorname{tg} x) - \cos x \cdot C O}{(2 + \operatorname{tg} x)^2} \]

Предполагая, что \( CO \) в изображении — это неверно прочитанная производная \( \frac{1}{\cos^2 x} \), и далее \( \cos x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x} = \operatorname{sec} x \).

В изображении присутствует ошибка в записи производной. Если \( (2+tgx)' \) должно быть \( \frac{1}{\cos^2 x} \), то дальше \( \cos x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \) равно \( \frac{1}{\cos x} \) или \( \operatorname{sec} x \).

Если исходить строго из того, что написано:

\[ f'(x) = \frac{-\sin x(2 + \operatorname{tg} x) - \cos x(2 + \operatorname{tg} x)'}{(2 + \operatorname{tg} x)^2} \]

И приравнивая это к:

\[ \frac{-\sin x(2 + \operatorname{tg} x) - \cos x \cdot CO}{(2 + \operatorname{tg} x)^2} \]

То мы видим, что \( CO \) должно быть равно \( (2 + \operatorname{tg} x)' \), но при этом \( \cos x \cdot (2 + \operatorname{tg} x)' \) не равно \( \cos x \cdot CO \) если \( CO \) — это какая-то константа или другая функция.

Если предположить, что \( CO \) в записи изображения является результатом вычисления \( \frac{1}{\cos x} \), что равно \( \operatorname{sec} x \), и что это должно было получиться из \( \cos x \cdot (2 + \operatorname{tg} x)' \), то это означает, что \( \cos x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \) было верно вычислено. Тогда:

\[ f'(x) = \frac{-\sin x(2 + \operatorname{tg} x) - \operatorname{sec} x}{(2 + \operatorname{tg} x)^2} \]

Ответ: В изображении присутствует неточность в записи производной. Правильная производная функции \( f(x) = \frac{\cos x}{2 + \operatorname{tg} x} \) равна \( f'(x) = \frac{-\sin x(2 + \operatorname{tg} x) - \operatorname{sec} x}{(2 + \operatorname{tg} x)^2} \).