f(x) = 4x - 1/3 x³

Решение:

Дана функция \( f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3 \).

Найдем производную для определения свойств функции.

Производная:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(4x - \frac{1}{3}x^3\right) = 4 - \frac{1}{3} · 3x^2 = 4 - x^2 \)

Критические точки:

Приравниваем производную к нулю: \( 4 - x^2 = 0 \)

\( x^2 = 4 \)

Корни уравнения: \( x = -2 \) и \( x = 2 \).

Интервалы возрастания/убывания:

• На интервале \( (-\infty, -2) \), например, при \( x = -3 \): \( f'(-3) = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (-2, 2) \), например, при \( x = 0 \): \( f'(0) = 4 - 0^2 = 4 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (2, \infty) \), например, при \( x = 3 \): \( f'(3) = 4 - 3^2 = 4 - 9 = -5 < 0 \). Функция убывает.

Экстремумы:

• При \( x = -2 \) (переход от убывания к возрастанию) — локальный минимум.
• При \( x = 2 \) (переход от возрастания к убыванию) — локальный максимум.

Ответ: Дана функция \( f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3 \).