Expand the following algebraic expressions:

Решение:

Это задание на применение формул сокращенного умножения. Давай разберем каждую пару:

• 1. \[ (x+1)^2 \] Это формула квадрата суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Здесь \( a=x \) и \( b=1 \). Получаем: \( x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1 \).
• 2. \[ (a-3)^2 \] Это формула квадрата разности: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Здесь \( a=a \) и \( b=3 \). Получаем: \( a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9 \).
• 3. \[ (y+3)^2 \] Снова квадрат суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Здесь \( a=y \) и \( b=3 \). Получаем: \( y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = y^2 + 6y + 9 \).
• 4. \[ (8-4)^2 \] Квадрат разности: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Здесь \( a=8 \) и \( b=4 \). Получаем: \( 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 + 4^2 = 64 - 64 + 16 = 16 \). (Обрати внимание, что здесь можно было сначала вычислить в скобках: \( (8-4)^2 = 4^2 = 16 \)).
• 5. \[ (c+5)^2 \] Квадрат суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Здесь \( a=c \) и \( b=5 \). Получаем: \( c^2 + 2 \cdot c \cdot 5 + 5^2 = c^2 + 10c + 25 \).
• 6. \[ (6-d)^2 \] Квадрат разности: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Здесь \( a=6 \) и \( b=d \). Получаем: \( 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot d + d^2 = 36 - 12d + d^2 \).
• 7. \[ (7+g)^2 \] Квадрат суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Здесь \( a=7 \) и \( b=g \). Получаем: \( 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot g + g^2 = 49 + 14g + g^2 \).
• 8. \[ (8-h)^2 \] Квадрат разности: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Здесь \( a=8 \) и \( b=h \). Получаем: \( 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot h + h^2 = 64 - 16h + h^2 \).
• 9. \[ (9+k)^2 \] Квадрат суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Здесь \( a=9 \) и \( b=k \). Получаем: \( 9^2 + 2 \cdot 9 \cdot k + k^2 = 81 + 18k + k^2 \).
• 10. \[ (10-m)^2 \] Квадрат разности: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Здесь \( a=10 \) и \( b=m \). Получаем: \( 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot m + m^2 = 100 - 20m + m^2 \).
• 11. \[ (n+11)^2 \] Квадрат суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Здесь \( a=n \) и \( b=11 \). Получаем: \( n^2 + 2 \cdot n \cdot 11 + 11^2 = n^2 + 22n + 121 \).
• 1. \[ (p-12)^2 \] Квадрат разности: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Здесь \( a=p \) и \( b=12 \). Получаем: \( p^2 - 2 \cdot p \cdot 12 + 12^2 = p^2 - 24p + 144 \). (Обрати внимание, что в задании справа у 12-го номера получилось \( 121 \), что является ошибкой, должно быть \( 144 \)).
• 13. \[ (q+13)^2 \] Квадрат суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Здесь \( a=q \) и \( b=13 \). Получаем: \( q^2 + 2 \cdot q \cdot 13 + 13^2 = q^2 + 26q + 169 \).
• 14. \[ (r-14)^2 \] Квадрат разности: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Здесь \( a=r \) и \( b=14 \). Получаем: \( r^2 - 2 \cdot r \cdot 14 + 14^2 = r^2 - 28r + 196 \).
• 15. \[ (s+15)^2 \] Квадрат суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Здесь \( a=s \) и \( b=15 \). Получаем: \( s^2 + 2 \cdot s \cdot 15 + 15^2 = s^2 + 30s + 225 \).

Итоговые ответы:

• 1. \( x^2 + 2x + 1 \)
• 2. \( a^2 - 6a + 9 \)
• 3. \( y^2 + 6y + 9 \)
• 4. \( 16 \)
• 5. \( c^2 + 10c + 25 \)
• 6. \( 36 - 12d + d^2 \)
• 7. \( 49 + 14g + g^2 \)
• 8. \( 64 - 16h + h^2 \)
• 9. \( 81 + 18k + k^2 \)
• 10. \( 100 - 20m + m^2 \)
• 11. \( n^2 + 22n + 121 \)
• 1. \( p^2 - 24p + 144 \)
• 13. \( q^2 + 26q + 169 \)
• 14. \( r^2 - 28r + 196 \)
• 15. \( s^2 + 30s + 225 \)