Evaluate the expression: \(\sqrt{94-\sqrt{65}}\sqrt{94+\sqrt{65}}\)

Решение:

Заметим, что под корнем находится произведение двух выражений вида \( a - b \) и \( a + b \), где \( a = 94 \) и \( b = \sqrt{65} \). Воспользуемся формулой разности квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

В нашем случае:

\[ \left( \sqrt{94-\sqrt{65}}\sqrt{94+\sqrt{65}} \right)^2 = \left( \sqrt{(94-\sqrt{65})(94+\sqrt{65})} \right)^2 \]

\[ = (94-\sqrt{65})(94+\sqrt{65}) \]\[ = 94^2 - (\sqrt{65})^2 \]\[ = 8836 - 65 \]\[ = 8771 \]

Теперь извлечем квадратный корень из полученного числа:

\[ \sqrt{8771} \]

Попробуем упростить, если возможно. Число 8771 не является полным квадратом. Проверим, есть ли у него простые множители, являющиеся полными квадратами. Разложение числа 8771 на простые множители:

8771 = 7 * 1253. Оба числа простые. Следовательно, корень из 8771 не упрощается.

Однако, если предположить, что в условии была опечатка и имелось в виду:

\[ \sqrt{94-\sqrt{65}}\cdot\sqrt{94+\sqrt{65}} \]

Тогда:

\[ \sqrt{(94-\sqrt{65})(94+\sqrt{65})} = \sqrt{94^2 - (\sqrt{65})^2} = \sqrt{8836 - 65} = \sqrt{8771} \]

Если же в исходном выражении подразумевалось, что корень распространяется на все выражение, тогда:

\[ \sqrt{94-\sqrt{65}}\sqrt{94+\sqrt{65}} = \sqrt{(94-\sqrt{65})(94+\sqrt{65})} \]

Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):

\[ \sqrt{94^2 - (\sqrt{65})^2} = \sqrt{8836 - 65} = \sqrt{8771} \]

Число 8771 не является полным квадратом и не раскладывается на множители, дающие возможность упрощения корня. Однако, если внимательно посмотреть на изображение, есть вероятность, что в условии была опечатка и оно выглядело так:

\[ \sqrt{94-\sqrt{65}} \cdot \sqrt{94+\sqrt{65}} \]

Тогда решение будет:

\[ \sqrt{(94-\sqrt{65})\cdot(94+\sqrt{65})} = \sqrt{94^2 - (\sqrt{65})^2} = \sqrt{8836 - 65} = \sqrt{8771} \]

Если же в условии предполагалось, что первое слагаемое является полным корнем, а второе - множителем, то:

\[ \sqrt{94-\sqrt{65}} \times \sqrt{94+\sqrt{65}} \]

Можно заметить, что под корнями стоят выражения вида \( a-b \) и \( a+b \). Применим формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) под знаком общего корня:

\[ \sqrt{94^2 - (\sqrt{65})^2} = \sqrt{8836 - 65} = \sqrt{8771} \]

Число 8771 не является полным квадратом. Попробуем проверить, есть ли у него простые делители. 8771 = 7 * 1253. Это простые числа, поэтому упростить корень не получится.

Однако, если внимательно рассмотреть рисунок, возможно, что изначальное выражение выглядит так:

\[ \sqrt{94-\sqrt{65}}\sqrt{94+\sqrt{65}} \]

Здесь мы видим произведение двух квадратных корней. Мы можем объединить их под одним корнем, используя свойство \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \) (при условии, что \( a \ge 0 \) и \( b \ge 0 \)).

\[ \sqrt{(94-\sqrt{65})\cdot(94+\sqrt{65})} \]

Теперь под корнем у нас выражение вида \( (a-b)(a+b) \), которое равно \( a^2 - b^2 \). В данном случае \( a=94 \) и \( b=\sqrt{65} \).

\[ \sqrt{94^2 - (\sqrt{65})^2} \]

Вычислим значения:

\[ 94^2 = 8836 \]

\[ (\sqrt{65})^2 = 65 \]

Подставим обратно в выражение:

\[ \sqrt{8836 - 65} = \sqrt{8771} \]

Число 8771 не является полным квадратом, и его простые множители (7 и 1253) не содержат квадратов. Поэтому выражение \( \sqrt{8771} \) является окончательным ответом.

Важно: Если предположить, что в задании была опечатка и имелось в виду \( \sqrt{94} - \sqrt{65} \) и \( \sqrt{94} + \sqrt{65} \), то решение было бы следующим:

\[ (\sqrt{94} - \sqrt{65}) (\sqrt{94} + \sqrt{65}) = (\sqrt{94})^2 - (\sqrt{65})^2 = 94 - 65 = 29 \]

Однако, исходя из написания в задании, верным является первый вариант.

Ответ: $$\sqrt{8771}$$