Если Z'y = 2x+3cos y, то Z=...

Решение:

Чтобы найти \( Z \) из частной производной \( Z'_y = 2x + 3\cos y \), необходимо проинтегрировать \( Z'_y \) по переменной \( y \). При этом \( x \) будет рассматриваться как константа.

\[ Z = \int (2x + 3\cos y) dy \]

Интегрируем по \( y \):

\[ Z = \int 2x dy + \int 3\cos y dy \]

\[ Z = 2x \int dy + 3 \int \cos y dy \]

Интеграл от \( dy \) равен \( y \).

Интеграл от \( \cos y \) равен \( \sin y \).

Таким образом, получаем:

\[ Z = 2xy + 3\sin y + C \]

Где \( C \) — произвольная постоянная интегрирования. В контексте данного задания, обычно подразумевается, что \( C \) может зависеть от \( x \), то есть \( C(x) \), так как при дифференцировании по \( y \) любая функция, зависящая только от \( x \), исчезает.

Среди предложенных вариантов, наиболее подходящим является тот, который соответствует полученному выражению.

Вариант: \( 2xy + 3\sin y - 2 \). Если \( C = -2 \), то это подходит.

Ответ: 2xy + 3 sin y - 2