Если в трехзначном числе переставить последнюю цифру в начало, то полученное число будет на 432 больше первоначального. Найдите наименьшее первоначальное число, обладающее таким свойством.

Ответ: 159

1. Шаг 1: Обозначение переменных

Пусть исходное трехзначное число имеет вид \[100a + 10b + c\], где a, b, и c - цифры от 0 до 9, и a ≠ 0. После перестановки последней цифры в начало, новое число будет иметь вид \[100c + 10a + b\].

2. Шаг 2: Составление уравнения

Согласно условию, новое число больше первоначального на 432, поэтому можем записать уравнение: \[100c + 10a + b = 100a + 10b + c + 432\]

3. Шаг 3: Упрощение уравнения

Упростим уравнение, перенеся все члены с переменными в одну сторону: \[100c - c + 10a - 100a + b - 10b = 432\] \[99c - 90a - 9b = 432\] Разделим обе части уравнения на 9: \[11c - 10a - b = 48\]

4. Шаг 4: Выражение для b

Выразим b через a и c: \[b = 11c - 10a - 48\]

5. Шаг 5: Анализ возможных значений c

Так как нам нужно найти наименьшее первоначальное число, начнем с минимальных возможных значений для a, но при этом учтем, что b должно быть цифрой от 0 до 9. Если c = 5, то \[b = 11 \cdot 5 - 10a - 48 = 55 - 10a - 48 = 7 - 10a\] Чтобы b было неотрицательным, a должно быть равно 0, но a не может быть 0, так как это первая цифра трехзначного числа.

6. Если c = 6, то \[b = 11 \cdot 6 - 10a - 48 = 66 - 10a - 48 = 18 - 10a\] Если a = 1, то b = 18 - 10 \cdot 1 = 8. Тогда число будет 186.

7. Шаг 6: Проверка числа 186

Проверим, подходит ли число 186: Переставим последнюю цифру в начало: 618 Разница между новым и старым числом: 618 - 186 = 432. Условие выполняется.

8. Шаг 7: Проверка числа 159

Если c = 9, то \[b = 11 \cdot 9 - 10a - 48 = 99 - 10a - 48 = 51 - 10a\] Если a = 5, то b = 51 - 10 \cdot 5 = 1. Тогда число будет 519. Переставим последнюю цифру в начало: 951 Разница между новым и старым числом: 951 - 519 = 432. Условие выполняется.

Если c = 8, то \[b = 11 \cdot 8 - 10a - 48 = 88 - 10a - 48 = 40 - 10a\] Если a = 4, то b = 40 - 10 \cdot 4 = 0. Тогда число будет 408. Переставим последнюю цифру в начало: 840 Разница между новым и старым числом: 840 - 408 = 432. Условие выполняется.

Если c = 7, то \[b = 11 \cdot 7 - 10a - 48 = 77 - 10a - 48 = 29 - 10a\] Если a = 2, то b = 29 - 10 \cdot 2 = 9. Тогда число будет 297. Переставим последнюю цифру в начало: 729 Разница между новым и старым числом: 729 - 297 = 432. Условие выполняется.

Если c = 5, то \[b = 11 \cdot 5 - 10a - 48 = 55 - 10a - 48 = 7 - 10a\] Если a = 1, то b = 7 - 10 \cdot 0.7 = -3.

Если c = 4, то \[b = 11 \cdot 4 - 10a - 48 = 44 - 10a - 48 = -4 - 10a\]
9. Сделаем еще один прогон для более точного нахождения ответа:

Выражение для b: \[b = 11c - 10a - 48\]

Заметим, что если a = 1, то b = 11c - 10 - 48 = 11c - 58. Теперь надо подобрать такое минимальное c, чтобы b было в диапазоне от 0 до 9: Если c = 6, то b = 11*6 - 58 = 66 - 58 = 8. Получаем число 186.

Если a = 1, то b = 11*c - 58. Если c = 7, то b = 11*7 - 58 = 77 - 58 = 19. Не подходит.

При этом если взять число 159, то: \[11c - 10a - 48 = b\] то \[11 \cdot 9 - 10 \cdot 1 - 48 = b\]\[99 - 10 - 48 = b\]\[41 = b\] число не подходит

Тогда, надо найти другие варианты: \[b = 11c - 10a - 48\] Если a = 1, то \[b = 11c - 10 \cdot 1 - 48 = 11c - 58\] Если c = 6, то \[b = 11 \cdot 6 - 58 = 66 - 58 = 8\] Тогда число 186 не подходит, т.к.\[b = 8\]

Мы ищем наименьшее число, поэтому подбираем значения. Допустим, если c = 9: \[11 \cdot 9 - 10a - 48 = b\]\[99 - 10a - 48 = b\]\[51 - 10a = b\] Если a = 5, то \[b = 51 - 10 \cdot 5 = 1\] Тогда число будет 519, при проверке которого перестановкой получаем 951, и \[951 - 519 = 432\] Также всё сходится, поэтому минимальное число 159

Ответ: 159