Если процесс выведения лекарственного средства из организма описывается уравнением с разделяющимися переменными \( \frac{dC}{dt} = -kC^2 \) (кинетика второго порядка), и начальная концентрация \( C_0 = 10 \) мг/л, то как будет выглядеть общее решение этого уравнения?

Решение:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными:

\( \frac{dC}{dt} = -kC^2 \)

Разделим переменные:

\( \frac{dC}{C^2} = -k dt \)

Проинтегрируем обе части уравнения:

\[ \int \frac{dC}{C^2} = \int -k dt \]

Получаем:

\[ -\frac{1}{C} = -kt + Const \]

Умножим обе части на -1:

\[ \frac{1}{C} = kt - Const \]

Обозначим новую константу как \( C'_1 = -Const \), тогда:

\[ \frac{1}{C} = kt + C'_1 \]

Чтобы найти константу \( C'_1 \), воспользуемся начальным условием: при \( t = 0 \), \( C = C_0 \).

\[ \frac{1}{C_0} = k \cdot 0 + C'_1 \]

\[ C'_1 = \frac{1}{C_0} \]

Подставим значение \( C'_1 \) в уравнение:

\[ \frac{1}{C} = kt + \frac{1}{C_0} \]

Таким образом, общее решение уравнения с учетом начального условия:

\[ \frac{1}{C(t)} = kt + \frac{1}{C_0} \]