Если одна из диагоналей параллелограмма параллельна некоторой плоскости, то и другая диагональ параллельна этой плоскости или лежит в ней.

Нет.

Если первая диагональ параллельна плоскости, это не обязывает вторую диагональ быть параллельной этой плоскости: диагонали пересекаются, и вторая диагональ может пересекать плоскость.

Ответ: Нет.