Если f(x) = x⁴ · ln(x), чему равно f'(1)?

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = x^4 \cdot \ln(x) \) воспользуемся правилом произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

1. Найдем производную \( u' \) от \( u = x^4 \): \( u' = 4x^3 \).
2. Найдем производную \( v' \) от \( v = \ln(x) \): \( v' = \frac{1}{x} \).
3. Применим правило произведения:

\( f'(x) = (4x^3) \cdot \ln(x) + x^4 \cdot \frac{1}{x} \)

Упростим выражение:

\( f'(x) = 4x^3 \ln(x) + x^3 \)

Теперь найдем значение производной при \( x = 1 \):

\( f'(1) = 4(1)^3 \ln(1) + (1)^3 \)

Так как \( \ln(1) = 0 \) и \( 1^3 = 1 \), получим:

\( f'(1) = 4 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \)

\( f'(1) = 0 + 1 \)

\( f'(1) = 1 \)

Ответ: 1