Если f(x) = 2x³. ln(x), чему равно f'(1)?

Решение:

Найдём производную функции \( f(x) = 2x^3 \cdot \ln(x) \) с помощью правила произведения. Пусть \( u(x) = 2x^3 \) и \( v(x) = \ln(x) \). Тогда \( u'(x) = 6x^2 \) и \( v'(x) = \frac{1}{x} \).

Производная произведения равна \( f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \).

Подставим наши значения:

\[ f'(x) = (6x^2)(\ln(x)) + (2x^3)\left(\frac{1}{x}\right) \]\[ f'(x) = 6x^2 \ln(x) + 2x^2 \]

Теперь вычислим значение производной в точке \( x=1 \):

\[ f'(1) = 6(1)^2 \ln(1) + 2(1)^2 \]

Поскольку \( \ln(1) = 0 \) и \( 1^2 = 1 \), получаем:

\[ f'(1) = 6 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \]\[ f'(1) = 0 + 2 \]\[ f'(1) = 2 \]

Ответ: 2