Если дифференцируемые функции y₁=y₁(x) и y₂=y₂(x) линейно зависимы на (a,b), то определитель Вронского равен

Решение:

Определитель Вронского (или вронскиан) двух дифференцируемых функций \( y_1(x) \) и \( y_2(x) \) определяется как:

\[ W(y_1, y_2)(x) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) \end{vmatrix} = y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \]

Если функции \( y_1(x) \) и \( y_2(x) \) линейно зависимы на интервале \( (a, b) \), это означает, что существует константа \( c \) такая, что \( y_1(x) = c \cdot y_2(x) \) или \( y_2(x) = c \cdot y_1(x) \) для всех \( x \cdot (a, b) \).

Рассмотрим первый случай: \( y_1(x) = c \cdot y_2(x) \).

Тогда \( y_1'(x) = c \cdot y_2'(x) \).

Подставим это в формулу вронскиана:

\[ W(y_1, y_2)(x) = (c \cdot y_2(x)) y_2'(x) - y_2(x) (c \cdot y_2'(x)) = c \cdot y_2(x) y_2'(x) - c \cdot y_2(x) y_2'(x) = 0 \]

Рассмотрим второй случай: \( y_2(x) = c \cdot y_1(x) \).

Тогда \( y_2'(x) = c \cdot y_1'(x) \).

Подставим это в формулу вронскиана:

\[ W(y_1, y_2)(x) = y_1(x) (c \cdot y_1'(x)) - (c \cdot y_1(x)) y_1'(x) = c \cdot y_1(x) y_1'(x) - c \cdot y_1(x) y_1'(x) = 0 \]

Таким образом, если функции линейно зависимы, их определитель Вронского равен нулю.

Ответ: 0