3) Елизавета очень спешила (на) встречу с издателем её книги. 4) (Не)смотря на пасмурное утро, настроение у путешественников было хорошее.

Ответ:

3) Елизавета очень спешила на встречу (на встречу = предлог + сущ. с предлогом, всегда пишется раздельно) с издателем её книги.

4) Несмотря (несмотря = предлог, пишется слитно) на пасмурное утро, настроение у путешественников было хорошее.

Правило дня: Предлоги пишутся раздельно. Существительные с предлогами пишутся раздельно, но есть исключения, когда предлог срастается с существительным в наречие.