Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение ((x∈ {3,5,7,11,12,15})→(x∈ {5,6,12,15})) ∨ (x∈A) всегда истинно, т. е. принимает значение 1 при любом значении переменной х. Определить множество А.

Решение:

Заданное выражение имеет вид \( P \rightarrow Q \vee A \), где:

• \( P \) — \( x \in \{3,5,7,11,12,15\} \)
• \( Q \) — \( x \in \{5,6,12,15\} \)
• \( A \) — \( x \in A \)

Выражение истинно для любого натурального \( x \). Напомним, что импликация \( P \rightarrow Q \) истинна, когда \( P \) ложно или \( Q \) истинно. Дизъюнкция \( X \vee Y \) истинна, когда \( X \) истинно или \( Y \) истинно.

Рассмотрим случаи:

1. Если \( x \) принадлежит множеству \( \{3,5,7,11,12,15\} \), то \( P \) истинно. Тогда для истинности всего выражения, \( Q \vee A \) должно быть истинно.
• Если \( x \) принадлежит \( \{5,6,12,15\} \), то \( Q \) истинно, и вся дизъюнкция \( Q \vee A \) истинна.
• Если \( x \) не принадлежит \( \{5,6,12,15\} \) (например, \( x=3, 7, 11 \)), то \( Q \) ложно. В этом случае \( A \) должно быть истинно, то есть \( x \) должно принадлежать множеству \( A \).
2. Если \( x \) не принадлежит множеству \( \{3,5,7,11,12,15\} \), то \( P \) ложно. В этом случае всё выражение \( P \rightarrow Q \vee A \) будет истинно независимо от значений \( Q \) и \( A \).

Из анализа первого случая, когда \( P \) истинно, мы видим, что для истинности всего выражения, если \( x \in \{3,5,7,11,12,15\} \) и \( x \notin \{5,6,12,15\} \), то \( x \) должно быть элементом \( A \). Это означает, что элементы \( 3, 7, 11 \) должны входить в множество \( A \).

Элементы \( 5, 12, 15 \) входят как в \( P \) (первая часть импликации), так и в \( Q \) (вторая часть импликации). Если \( x \) равен одному из этих чисел, то \( P \) истинно, \( Q \) истинно, следовательно \( Q \vee A \) истинно, и всё выражение истинно. Поэтому \( 5, 12, 15 \) не обязаны быть в \( A \), но могут там быть.

Таким образом, для гарантированной истинности выражения при любом \( x \), множество \( A \) должно содержать элементы, которые делают \( A \) истинным, когда \( P \) истинно, а \( Q \) ложно. Эти элементы — \( 3, 7, 11 \).

Минимальное множество \( A \), удовлетворяющее условию, это \( \{3, 7, 11 \} \).

• Проверка:
• Если \( x = 3 \): \( (1 \rightarrow 0 \vee 1) \vee (3 \in A) \) = \( (0 \vee 1) \vee 1 \) = \( 1 \vee 1 \) = 1 (истинно).
• Если \( x = 5 \): \( (1 \rightarrow 1 \vee 1) \vee (5 \in A) \) = \( (1 \vee 1) \vee 0 \) = \( 1 \vee 0 \) = 1 (истинно).
• Если \( x = 10 \): \( (0 \rightarrow 0 \vee 0) \vee (10 \in A) \) = \( (1 \vee 0) \vee 0 \) = \( 1 \vee 0 \) = 1 (истинно).

Ответ: А = {3, 7, 11}.