Электрон летит от точки А к точке В. Между этими точками имеется разность потенциалов 100 В. Какую скорость будет иметь электрон в точке В, если его скорость в точке А была равна нулю?

Решение:

Для решения этой задачи используем закон сохранения энергии. Изменение кинетической энергии электрона равно работе, совершённой электрическим полем.

Запишем формулу:

\( \Delta E_k = A \)

где \( \Delta E_k \) — изменение кинетической энергии, \( A \) — работа электрического поля.

Изменение кинетической энергии:

\( \Delta E_k = E_{k,B} - E_{k,A} = \frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2 \)

Работа электрического поля связана с разностью потенциалов:

\( A = q \Delta \phi \)

где \( q \) — заряд электрона, \( \Delta \phi \) — разность потенциалов.

По условию задачи:

• \( v_A = 0 \) (скорость в точке А равна нулю)
• \( \Delta \phi = 100 \) В (разность потенциалов между точками А и В)
• \( q = -e \) (заряд электрона, где \( e \) — элементарный заряд)

Подставим известные значения в уравнение сохранения энергии:

\( \frac{1}{2} m v_B^2 - 0 = (-e) \cdot (V_B - V_A) \)

Так как \( \Delta \phi = V_B - V_A \), то:

\( \frac{1}{2} m v_B^2 = -e \cdot \Delta \phi \)

Электрон движется от А к В, значит, его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая — увеличивается. Электрическое поле совершает работу над электроном. Если разность потенциалов \( \Delta \phi = 100 \) В, то \( V_B \) — \( V_A = 100 \) В. Работа, совершённая полем, равна \( A = q(V_B - V_A) \).

Для электрона \( q = -e \). Работа, совершённая полем, равна \( A = -e \times 100 \) В.

Изменение кинетической энергии равно работе поля:

\( \frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2 = A \)

\( \frac{1}{2} m v_B^2 - 0 = -e \times 100 \) В

\( \frac{1}{2} m v_B^2 = -100e \)

В этой формуле мы получили отрицательную кинетическую энергию, что невозможно. Это связано с тем, что электрон, будучи отрицательно заряженной частицей, будет ускоряться, если движется из области с более низким потенциалом в область с более высоким потенциалом. Если разность потенциалов 100 В, и электрон движется от А к В, то \( V_B - V_A = 100 \) В. Работа, совершаемая полем над электроном, \( A = q(V_B - V_A) = -e \times 100 \) В. Это означает, что электрон должен замедляться, если он движется от низкого к высокому потенциалу, или ускоряться, если от высокого к низкому. В данной постановке задачи, электрон ускоряется, а значит, работа поля положительна.

Следовательно, \( V_B - V_A = -100 \) В, если электрон ускоряется.

\( \frac{1}{2} m v_B^2 - 0 = -e \cdot (-100 \text{ В}) \)

\( \frac{1}{2} m v_B^2 = 100e \)

Теперь найдём скорость \( v_B \):

\( v_B^2 = \frac{200e}{m} \)

\( v_B = \sqrt{\frac{200e}{m}} \)

Где \( e \) — элементарный заряд \( 1.6 \times 10^{-19} \) Кл, \( m \) — масса электрона \( 9.11 \times 10^{-31} \) кг.

\( v_B = \sqrt{\frac{200 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}}{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}}}} \)

\( v_B = \sqrt{\frac{320 \times 10^{-19}}{9.11 \times 10^{-31}}}} \text{ м/с} \)

\( v_B = \sqrt{35.126 \times 10^{12}}}} \text{ м/с} \)

\( v_B = 5.927 \times 10^6 \text{ м/с}} \)

Ответ: Скорость электрона в точке В будет приблизительно \( 5.93 \times 10^6 \) м/с.