Экзаменационный билет № 2 по геометрии. 7 класс. 1. Расположение точек относительно прямой на плоскости. Полуплоскость. Виды треугольников. 2. Признаки параллельности двух прямых. 3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников». Отрезки АС и ВМ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Доказать, что треугольник АВС равен треугольнику СМА. 4. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 120°.

Привет! Продолжаем разбирать экзаменационные билеты по геометрии для 7 класса. Переходим ко второй части.

1. Расположение точек относительно прямой на плоскости. Полуплоскость. Виды треугольников.

Это снова теоретические вопросы. Нужно вспомнить, что такое полуплоскость (это область, на которую прямая делит плоскость), и как точки могут располагаться относительно прямой (на прямой или в одной из полуплоскостей). Также нужно знать классификацию треугольников по сторонам (равносторонний, равнобедренный, разносторонний) и по углам (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный).

2. Признаки параллельности двух прямых.

Еще одна тема на знание теории. Вспоминаем, какие углы образуются при пересечении двух прямых секущей (накрест лежащие, соответственные, односторонние) и какие условия их равенства или сумма указывают на параллельность прямых.

3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников».

Условие: Отрезки АС и ВМ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Доказать, что треугольник АВС равен треугольнику СМА.

Решение:

Для доказательства равенства треугольников будем использовать один из признаков равенства. Давайте внимательно посмотрим на условие задачи.

1. Что нам дано?
• Отрезки АС и ВМ пересекаются. Пусть точка их пересечения будет О.
• Точка пересечения делит отрезки пополам. Это значит, что АО = ОС и ВО = ОМ.
2. Что нужно доказать?
• Что треугольник АВС равен треугольнику СМА. (ΔABC = ΔCMA)
3. Рассматриваем треугольники, в которых нужно доказать равенство. Это не совсем те треугольники, которые нам даны в условии. В условии сказано про отрезки АС и ВМ, которые пересекаются. Давайте рассмотрим треугольники, которые образуются при их пересечении.
4. Применим признак равенства треугольников.
• Рассмотрим ΔAOB и ΔCOМ.
• AO = OC (по условию, точка пересечения делит АС пополам).
• BO = OM (по условию, точка пересечения делит ВМ пополам).
• ∠AOB = ∠COM (как вертикальные углы).
• По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), ΔAOB = ΔCOM.
5. Что это нам дает?
• Из равенства этих треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны. Значит, AB = CM и ∠BAO = ∠DCM (или ∠BAC = ∠MCA).
6. Теперь вернемся к тем треугольникам, которые нам нужно доказать равными: ΔABC и ΔCMA.
• AB = CM (мы только что доказали это).
• AC - общая сторона для обоих треугольников.
• ∠BAC = ∠MCA (мы тоже это доказали).
7. Применяем второй признак равенства треугольников.
• Мы имеем:
• Сторона AC - общая.
• Угол ∠BAC равен углу ∠MCA.
• Угол ∠BCA и угол ∠MAC? Нам нужно их как-то связать.
8. Давайте рассмотрим другую пару треугольников, чтобы использовать данные из условия.
• Рассмотрим ΔAOB и ΔCOD, где D - точка пересечения. Нет, это неверно.
• Вернемся к ΔABC и ΔCMA.
• AB = CM (доказано).
• AC - общая сторона.
• Что еще нам известно?
• ∠BCA и ∠MAC - это накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и CM секущей AC? Нет, это не так.
• ∠BAC = ∠MCA (доказано).
• AC - общая сторона.
• BC и MA? Нам нужно доказать их равенство или равенство углов.
9. Давайте переформулируем.
• Рассмотрим ΔABO и ΔCMO.
• AO = CO (по условию)
• BO = MO (по условию)
• ∠AOB = ∠COM (вертикальные)
• Следовательно, ΔABO = ΔCMO (по первому признаку).
• Из этого следует, что AB = CM и ∠BAO = ∠MCO (то есть ∠BAC = ∠MCA).
10. Теперь рассмотрим треугольники ΔABC и ΔCMA.
• AB = CM (доказано).
• AC - общая сторона.
• ∠BAC = ∠MCA (доказано).
• Итак, у нас есть две стороны (AB и AC) и угол между ними (∠BAC) в одном треугольнике, и две стороны (CM и AC) и угол между ними (∠MCA) в другом треугольнике.
• Внимание: угол ∠MCA в треугольнике CMA - это угол при вершине C. А угол ∠BAC - угол при вершине A.
• Мы доказали равенство ΔAOB и ΔCMO, что дало нам AB = CM и ∠BAC = ∠MCA.
• Теперь нам нужно доказать равенство ΔABC и ΔCMA.
• У нас есть:
• AB = CM
• AC - общая сторона.
• ∠BAC = ∠MCA
• Этого достаточно для второго признака равенства треугольников: по двум сторонам и углу МЕЖДУ ними.

Формальное доказательство:

1. Рассмотрим отрезки AC и BM, пересекающиеся в точке O.
2. По условию, AO = OC и BO = OM.
3. Углы ∠AOB и ∠COM равны как вертикальные.
4. Следовательно, ΔAOB = ΔCOM по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства этих треугольников следует, что AB = CM и ∠BAC = ∠MCA.
6. Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔCMA.
7. У нас есть:
• AB = CM (доказано в п.5).
• AC - общая сторона.
• ∠BAC = ∠MCA (доказано в п.5).
8. Следовательно, ΔABC = ΔCMA по второму признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Доказано!

4. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 120°.

Как построить угол 120°:

1. Строим развернутый угол. Постройте развернутый угол (180°).
2. Строим угол 60°. От одной из сторон развернутого угла отложите угол в 60°. Это можно сделать, построив равносторонний треугольник:
• Из вершины угла проведите дугу окружности радиусом R.
• От точки пересечения этой дуги со стороной угла проведите другую дугу радиусом R.
• Точка пересечения двух дуг даст нам третью вершину равностороннего треугольника. Угол при вершине развернутого угла будет равен 60°.
3. Находим угол 120°. Оставшаяся часть развернутого угла будет равна 180° - 60° = 120°.

Альтернативный способ:

1. Строим прямой угол. С помощью циркуля и линейки постройте прямой угол (90°).
2. Строим угол 30°. Постройте биссектрису угла 60° (который мы строили ранее), чтобы получить угол 30°.
3. Складываем углы. Прибавьте к прямому углу (90°) угол 30°. Получится 90° + 30° = 120°.