Экзаменационный билет № 3 по геометрия. 7 класс. 1. Высоты, медианы и биссектрисы треугольника. Отличие биссектрисы угла от биссектрисы Д. 2. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. 3. Задача на тему «Окружность». На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угод ЛОВ прямой. Отрезок ВС диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС, равны. *. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 135°.

• Дано: Окружность с центром O, точки A и B на окружности, ∠AOB = 90°, BC - диаметр.
• Доказать: AB = AC

Доказательство:

• ∠BAC - вписанный угол, опирающийся на диаметр BC. Следовательно, ∠BAC = 90°.
• Рассмотрим треугольник ABC. Так как ∠BAC = 90°, то треугольник ABC - прямоугольный с гипотенузой BC.
• ∠AOB - центральный угол, опирающийся на дугу AB. Так как ∠AOB = 90°, то дуга AB равна 90°.
• ∠ACB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно, ∠ACB = 45° (так как вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается).
• В прямоугольном треугольнике ABC, если один из углов равен 45°, то и другой угол равен 45° (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°).
• Следовательно, ∠ABC = 45°.
• Таким образом, в треугольнике ABC углы ∠ACB и ∠ABC равны, следовательно, треугольник ABC - равнобедренный.
• В равнобедренном треугольнике ABC стороны, лежащие против равных углов, равны. Следовательно, AB = AC.

Что и требовалось доказать.