Экзаменационный билет № 20 по геометрии. 7 класс. 1. Объясните, как построить биссектрису данного угла. 2. Равнобедренный треугольник и его свойства 3. Задача на тему «Свойства прямоугольных треугольников». В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, AC-AB-18 см. Найти АСИ АВ. *. Постройте прямоугольный треугольник по катету и биссектрисе прямого угла.

Ответ: 1. Биссектриса угла - это луч, делящий угол пополам. 2. Определение и свойства равнобедренного треугольника указаны в решении. 3. AC = 36 см, AB = 18 см. Прямоугольный треугольник по катету и биссектрисе прямого угла построен в решении.

1. Биссектриса угла

Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.

Для построения биссектрисы угла можно использовать циркуль и линейку:

• Проведите окружность с центром в вершине угла.
• Отметьте точки пересечения окружности со сторонами угла.
• Из каждой из этих точек проведите окружность того же радиуса.
• Точка пересечения этих окружностей (внутри угла) лежит на биссектрисе.
• Проведите луч из вершины угла через эту точку. Этот луч и будет биссектрисой угла.

2. Равнобедренный треугольник и его свойства

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

Свойства равнобедренного треугольника:

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
• Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию равнобедренного треугольника, совпадают.

3. Задача на тему «Свойства прямоугольных треугольников»

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C внешний угол при вершине A равен 120°. AC - AB = 18 см. Найти AC и AB.

Решение:

Шаг 1: Определим величину угла A

Внешний угол при вершине A равен 120°, следовательно, внутренний угол A равен:

\[180° - 120° = 60°\]

Шаг 2: Определим величину угла B

Так как угол C прямой (90°), сумма углов A и B равна 90°:

\[B = 90° - A = 90° - 60° = 30°\]

Шаг 3: Используем свойство катета, лежащего против угла 30°

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит:

\[AC = \frac{1}{2}AB\]

Шаг 4: Выразим AB через AC

\[AB = 2AC\]

Шаг 5: Решим систему уравнений

Нам дано:

\[AC - AB = 18\]

Подставим AB = 2AC:

\[AC - 2AC = 18\]\[-AC = 18\]\[AC = -18\]

Произошла ошибка в условии, так как AC - AB = 18 см, а по условию AC = \frac{1}{2}AB. Верно должно быть AB - AC = 18 см. Тогда:

Шаг 5: Решим систему уравнений (исправленное условие)

Нам дано:

\[AB - AC = 18\]

Подставим AB = 2AC:

\[2AC - AC = 18\]\[AC = 18\]

Шаг 6: Найдем AB

\[AB = 2AC = 2 \cdot 18 = 36\]

Ответ: AC = 18 см, AB = 36 см.

*. Постройте прямоугольный треугольник по катету и биссектрисе прямого угла

Для построения прямоугольного треугольника по катету и биссектрисе прямого угла выполним следующие шаги:

• Нарисуйте прямой угол.
• Отложите на одной из сторон прямого угла отрезок, равный данному катету. Обозначьте его, например, AC.
• Постройте биссектрису прямого угла. Для этого разделите прямой угол пополам. Биссектриса делит прямой угол на два угла по 45°.
• На биссектрисе угла C найдите точку B так, чтобы CB была гипотенузой треугольника. Для этого проведите перпендикуляр из точки A к биссектрисе угла C. Точка пересечения этого перпендикуляра с биссектрисой и будет вершиной B.
• Соедините точки A и B.

Треугольник ABC — искомый прямоугольный треугольник, где угол C прямой, AC — данный катет, а CB — гипотенуза.

Ответ: 1. Биссектриса угла - это луч, делящий угол пополам. 2. Определение и свойства равнобедренного треугольника указаны в решении. 3. AC = 36 см, AB = 18 см. Прямоугольный треугольник по катету и биссектрисе прямого угла построен в решении.