6) Егер арифметикалық прогрессияда S=371, а1=20 d=-0.5 болса, онда п және ад-ді есепте (4 балл) 7) Арифметикалық прогрессияның жетінші мүшесі 16-ға тең. Осы прогрессияның бірінші, жетінші және отыз бірінші мүшелері геометриялық прогрессияны құрайтын болса, геометриялық прогрессияның еселігін табыңдар. (6 балл)

Ответ (KZ):

6) Арифметикалық прогрессияда $$S_n = 371, a_1 = 20, d = -0.5$$ болса, $$n$$ және $$a_n$$-ді табу керек.

Арифметикалық прогрессияның қосындысының формуласы:

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$

Мәндерді қоямыз:

$$371 = \frac{2 \cdot 20 + (n-1)(-0.5)}{2} \cdot n$$ $$371 = \frac{40 - 0.5n + 0.5}{2} \cdot n$$ $$371 = \frac{40.5 - 0.5n}{2} \cdot n$$ $$742 = (40.5 - 0.5n) \cdot n$$ $$742 = 40.5n - 0.5n^2$$ $$0.5n^2 - 40.5n + 742 = 0$$

Квадрат теңдеуді шешеміз:

$$n^2 - 81n + 1484 = 0$$

Дискриминантты табамыз:

$$D = (-81)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1484 = 6561 - 5936 = 625$$

Түбірлерді табамыз:

$$n_1 = \frac{81 + \sqrt{625}}{2} = \frac{81 + 25}{2} = \frac{106}{2} = 53$$ $$n_2 = \frac{81 - \sqrt{625}}{2} = \frac{81 - 25}{2} = \frac{56}{2} = 28$$

Енді $$a_n$$-ді табамыз:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

$$n = 53$$ үшін:

$$a_{53} = 20 + (53-1)(-0.5) = 20 + 52(-0.5) = 20 - 26 = -6$$

$$n = 28$$ үшін:

$$a_{28} = 20 + (28-1)(-0.5) = 20 + 27(-0.5) = 20 - 13.5 = 6.5$$

7) Арифметикалық прогрессияның 7-ші мүшесі 16-ға тең, яғни $$a_7 = 16$$. Бірінші, жетінші және отыз бірінші мүшелері геометриялық прогрессия құрайды, яғни $$a_1, a_7, a_{31}$$ геометриялық прогрессия құрайды.

Арифметикалық прогрессияның формуласы:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

Онда $$a_7 = a_1 + 6d = 16$$

Геометриялық прогрессияның шарты:

$$\frac{a_7}{a_1} = \frac{a_{31}}{a_7}$$ $$a_7^2 = a_1 \cdot a_{31}$$ $$a_{31} = a_1 + 30d$$

$$a_7 = 16$$ болғандықтан:

$$16^2 = a_1(a_1 + 30d)$$ $$256 = a_1(a_1 + 30d)$$

$$a_1 = 16 - 6d$$ екенін білеміз:

$$256 = (16 - 6d)(16 - 6d + 30d)$$ $$256 = (16 - 6d)(16 + 24d)$$ $$256 = 256 + 384d - 96d - 144d^2$$ $$0 = 288d - 144d^2$$ $$144d^2 - 288d = 0$$ $$d^2 - 2d = 0$$ $$d(d - 2) = 0$$

Онда $$d = 0$$ немесе $$d = 2$$.

Егер $$d = 0$$ болса, $$a_1 = 16$$, онда геометриялық прогрессияның еселігі $$q = \frac{a_7}{a_1} = \frac{16}{16} = 1$$

Егер $$d = 2$$ болса, $$a_1 = 16 - 6(2) = 16 - 12 = 4$$, онда $$a_{31} = 4 + 30(2) = 4 + 60 = 64$$, геометриялық прогрессияның еселігі $$q = \frac{a_7}{a_1} = \frac{16}{4} = 4$$

Перевод (RU):

6) В арифметической прогрессии $$S_n = 371, a_1 = 20, d = -0.5$$, нужно найти $$n$$ и $$a_n$$.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$

Подставляем значения:

$$371 = \frac{2 \cdot 20 + (n-1)(-0.5)}{2} \cdot n$$ $$371 = \frac{40 - 0.5n + 0.5}{2} \cdot n$$ $$371 = \frac{40.5 - 0.5n}{2} \cdot n$$ $$742 = (40.5 - 0.5n) \cdot n$$ $$742 = 40.5n - 0.5n^2$$ $$0.5n^2 - 40.5n + 742 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$n^2 - 81n + 1484 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-81)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1484 = 6561 - 5936 = 625$$

Находим корни:

$$n_1 = \frac{81 + \sqrt{625}}{2} = \frac{81 + 25}{2} = \frac{106}{2} = 53$$ $$n_2 = \frac{81 - \sqrt{625}}{2} = \frac{81 - 25}{2} = \frac{56}{2} = 28$$

Теперь находим $$a_n$$:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

Для $$n = 53$$:

$$a_{53} = 20 + (53-1)(-0.5) = 20 + 52(-0.5) = 20 - 26 = -6$$

Для $$n = 28$$:

$$a_{28} = 20 + (28-1)(-0.5) = 20 + 27(-0.5) = 20 - 13.5 = 6.5$$

7) Седьмой член арифметической прогрессии равен 16, то есть $$a_7 = 16$$. Первый, седьмой и тридцать первый члены образуют геометрическую прогрессию, то есть $$a_1, a_7, a_{31}$$ образуют геометрическую прогрессию.

Формула арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

Тогда $$a_7 = a_1 + 6d = 16$$

Условие геометрической прогрессии:

$$\frac{a_7}{a_1} = \frac{a_{31}}{a_7}$$ $$a_7^2 = a_1 \cdot a_{31}$$ $$a_{31} = a_1 + 30d$$

Так как $$a_7 = 16$$:

$$16^2 = a_1(a_1 + 30d)$$ $$256 = a_1(a_1 + 30d)$$

Мы знаем, что $$a_1 = 16 - 6d$$:

$$256 = (16 - 6d)(16 - 6d + 30d)$$ $$256 = (16 - 6d)(16 + 24d)$$ $$256 = 256 + 384d - 96d - 144d^2$$ $$0 = 288d - 144d^2$$ $$144d^2 - 288d = 0$$ $$d^2 - 2d = 0$$ $$d(d - 2) = 0$$

Тогда $$d = 0$$ или $$d = 2$$.

Если $$d = 0$$, то $$a_1 = 16$$, тогда знаменатель геометрической прогрессии $$q = \frac{a_7}{a_1} = \frac{16}{16} = 1$$

Если $$d = 2$$, то $$a_1 = 16 - 6(2) = 16 - 12 = 4$$, тогда $$a_{31} = 4 + 30(2) = 4 + 60 = 64$$, знаменатель геометрической прогрессии $$q = \frac{a_7}{a_1} = \frac{16}{4} = 4$$

Ответ: 6) n = 53, a_53 = -6; n = 28, a_28 = 6.5; 7) q=1 или q=4