Е. А. Ширяева Задание 3.1. а) Решите уравнение 1+log3(x²+16)=log/3√21x²+18; б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2;2]. ,

а) Решите уравнение \(1 + \log_3(x^4 + 16) = \log_{\sqrt{3}} \sqrt{21x^2 + 18}\)

Логика такая:

• Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов.
• Приводим к общему основанию.
• Решаем полученное уравнение.

Начнем: \[1 + \log_3(x^4 + 16) = \log_{\sqrt{3}} \sqrt{21x^2 + 18}\] \[1 + \log_3(x^4 + 16) = 2\log_{3} \sqrt{21x^2 + 18}\] \[1 + \log_3(x^4 + 16) = \log_{3} (21x^2 + 18)\] \[\log_3 3 + \log_3(x^4 + 16) = \log_{3} (21x^2 + 18)\] \[\log_3 (3(x^4 + 16)) = \log_{3} (21x^2 + 18)\] \[3(x^4 + 16) = 21x^2 + 18\] \[3x^4 + 48 = 21x^2 + 18\] \[3x^4 - 21x^2 + 30 = 0\] \[x^4 - 7x^2 + 10 = 0\] Сделаем замену \(t = x^2\), тогда уравнение примет вид: \[t^2 - 7t + 10 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[t = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}\] \[t_1 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[t_2 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2\] Возвращаемся к замене: \[x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5}\] \[x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\[-\frac{3}{2}; \frac{5}{2}\]\).

Смотри, тут всё просто: Нужно проверить, какие из найденных корней попадают в заданный отрезок. \[-\frac{3}{2} = -1.5\] \[\frac{5}{2} = 2.5\] \[-\sqrt{5} \approx -2.236 \in [-1.5; 2.5]\] - не принадлежит отрезку \[-\sqrt{2} \approx -1.414 \in [-1.5; 2.5]\] - принадлежит отрезку \[\sqrt{2} \approx 1.414 \in [-1.5; 2.5]\] - принадлежит отрезку \[\sqrt{5} \approx 2.236 \in [-1.5; 2.5]\] - принадлежит отрезку

• Ответ: Корни, принадлежащие отрезку: \(-\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{5}\)