ДЗ 32. Повторение. Случайные величины и распределения ЗАДАНИЕ №3 У азартной игры следующие правила: • шестигранный кубик подбрасывают один раз; • в зависимости от выпавших очков Вы получаете выигрыш. Выигрыш в зависимости от результата броска указан ниже: | Выпавшие очки | 1, 2, 3 | 4, 5 | 6 | |---------------|--------|------|-----| | Выигрыш | 1В | 4В | 10В | Известно, что средний выигрыш при бесплатной игре составляет 3,5В. Предположим, чтобы сыграть один раз в игру, Вам нужно заплатить 4В. Чему в этом случае равно математическое ожидание вашего выигрыша? Как изменилось математическое ожидание по сравнению с бесплатной игрой?

Решение:

В этой задаче нам нужно рассчитать математическое ожидание выигрыша при платной игре и сравнить его с математическим ожиданием при бесплатной игре.

1. Математическое ожидание при платной игре

Для расчета математического ожидания (E) нужно умножить значение каждого возможного выигрыша на вероятность его получения, а затем сложить эти произведения. После этого из полученной суммы нужно вычесть стоимость игры.

Вероятности выпадения очков на кубике:

• Вероятность выпадения 1, 2 или 3 очков: $$P(1, 2, 3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$
• Вероятность выпадения 4 или 5 очков: $$P(4, 5) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
• Вероятность выпадения 6 очков: $$P(6) = \frac{1}{6} $$

Расчет математического ожидания:

• Выигрыш при выпадении 1, 2, 3 очков = 1В.
• Выигрыш при выпадении 4, 5 очков = 4В.
• Выигрыш при выпадении 6 очков = 10В.
• Стоимость игры = 4В.

Математическое ожидание (E) = (Выигрыш1 * Вероятность1) + (Выигрыш2 * Вероятность2) + (Выигрыш3 * Вероятность3) - Стоимость игры

\[ E = (1В \times \frac{1}{2}) + (4В \times \frac{1}{3}) + (10В \times \frac{1}{6}) - 4В \]

\[ E = \frac{1}{2}В + \frac{4}{3}В + \frac{10}{6}В - 4В \]

\[ E = \frac{3}{6}В + \frac{8}{6}В + \frac{10}{6}В - \frac{24}{6}В \]

\[ E = \frac{3 + 8 + 10 - 24}{6}В \]

\[ E = \frac{21 - 24}{6}В \]

\[ E = \frac{-3}{6}В \]

\[ E = -0,5В \]

2. Изменение математического ожидания

Известно, что средний выигрыш при бесплатной игре составляет 3,5В. Это и есть математическое ожидание при бесплатной игре.

Чтобы узнать, как изменилось математическое ожидание, нужно вычесть математическое ожидание бесплатной игры из математического ожидания платной игры:

\[ \Delta E = E_{платная} - E_{бесплатная} \]

\[ \Delta E = -0,5В - 3,5В \]

\[ \Delta E = -4В \]

Ответ:

• Математическое ожидание вашего выигрыша в данном случае составляет -0,5В.
• Математическое ожидание изменилось на -4В (уменьшилось на 4В) по сравнению с бесплатной игрой.