ДЗ 30. Решение задач на нахождение вероятностей, в том числе условных, с использованием дерева случайного опыта ЗАДАНИЕ №4 Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение:

1. Обозначим события:
   • 'Аб' — А. играет белыми.
   • 'ЧА' — А. играет черными.
   • 'АвБ' — А. выигрывает у Б.
   • 'БвА' — Б. выигрывает у А.
2. Известные вероятности:
   • P(АвБ | Аб) = 0,52 (вероятность выигрыша А. белыми)
   • P(АвБ | ЧА) = 0,3 (вероятность выигрыша А. черными)
3. Вероятность проигрыша Б.:
   • P(БвА | Аб) = 1 - P(АвБ | Аб) = 1 - 0,52 = 0,48
   • P(БвА | ЧА) = 1 - P(АвБ | ЧА) = 1 - 0,3 = 0,7
4. Вероятность того, что А. выиграет обе партии:

   Шахматисты играют две партии. Во второй партии меняют цвет фигур. Это значит, что в первой партии А. играет либо белыми, либо черными. Вероятность того, что А. выиграет обе партии, складывается из двух сценариев:

   • Сценарий 1: А. играет белыми в первой партии И выигрывает, И играет черными во второй партии И выигрывает.
   • Сценарий 2: А. играет черными в первой партии И выигрывает, И играет белыми во второй партии И выигрывает.

   Важно: В условии не сказано, что А. играет белыми или черными в первой партии с какой-то определенной вероятностью. Будем считать, что вероятность игры белыми или черными в первой партии равновероятна, то есть 0,5.

   • Сценарий 1 (А. — белые, затем черные):
     • Вероятность, что А. играет белыми в первой партии = 0,5.
     • Вероятность, что А. выиграет, играя белыми = 0,52.
     • Вероятность, что А. играет черными во второй партии = 0,5.
     • Вероятность, что А. выиграет, играя черными = 0,3.
     • Вероятность сценария 1 = 0,5 * 0,52 * 0,5 * 0,3 = 0,039
   • Сценарий 2 (А. — черные, затем белые):
     • Вероятность, что А. играет черными в первой партии = 0,5.
     • Вероятность, что А. выиграет, играя черными = 0,3.
     • Вероятность, что А. играет белыми во второй партии = 0,5.
     • Вероятность, что А. выиграет, играя белыми = 0,52.
     • Вероятность сценария 2 = 0,5 * 0,3 * 0,5 * 0,52 = 0,039
   • Общая вероятность выигрыша обеих партий: Суммируем вероятности двух независимых сценариев.
   • P(А. выиграет обе партии) = Вероятность сценария 1 + Вероятность сценария 2 = 0,039 + 0,039 = 0,078

Ответ: 0,078