Две трети пути катер двигался со скоростью v₁ = 70 км/ч, а остальное расстояние он шел по мелководью со скоростью v₂ = 5 км/ч. Найти среднюю скорость катера на всем пути.

Решение:

1. Обозначим весь путь как S.
2. Время движения по первой части пути: \( t_1 = \frac{S_1}{v_1} \). Так как \( S_1 = \frac{2}{3}S \), то \( t_1 = \frac{\frac{2}{3}S}{70} = \frac{2S}{210} = \frac{S}{105} \) часа.
3. Время движения по второй части пути: \( t_2 = \frac{S_2}{v_2} \). Так как \( S_2 = \frac{1}{3}S \), то \( t_2 = \frac{\frac{1}{3}S}{5} = \frac{S}{15} \) часа.
4. Общее время в пути: \( t = t_1 + t_2 = \frac{S}{105} + \frac{S}{15} = \frac{S}{105} + \frac{7S}{105} = \frac{8S}{105} \) часа.
5. Средняя скорость определяется как отношение всего пройденного расстояния ко всему затраченному времени: \( v_{ср} = \frac{S}{t} \).
6. Подставим значения: \( v_{ср} = \frac{S}{\frac{8S}{105}} = S \cdot \frac{105}{8S} = \frac{105}{8} \) км/ч.
7. Вычислим значение: \( \frac{105}{8} = 13.125 \) км/ч.

Ответ: 13.125 км/ч.