16. Две стороны треугольник разуют с его медианой, проведённой к третьей стороне, углы 30° и 90°. Найдите отношение этих двух сторон треугольника.

Ответ: \(\sqrt{3}\)

Обозначим треугольник ABC, где медиана BD проведена к стороне AC, ∠BDA = 30°, ∠BDC = 90°.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник BDC.

Так как ∠BDC = 90°, то треугольник BDC прямоугольный. Пусть BC = x. Тогда, так как BD - медиана, AD = DC. Обозначим DC = y.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник BDA.

В этом треугольнике ∠BDA = 30°. Используем теорему синусов для треугольника BDA: \[\frac{AD}{\sin(\angle DBA)} = \frac{BD}{\sin(\angle A)}\]

Шаг 3: Найдем углы и выразим стороны.

В треугольнике BDC: \(\sin(30^\circ) = \frac{BC}{BD} = \frac{x}{BD}\), следовательно, \(BD = \frac{x}{\sin(30^\circ)} = 2x\). Также, \(\tan(30^\circ) = \frac{BC}{DC} = \frac{x}{y}\), следовательно, \(y = x \cdot \cot(30^\circ) = x\sqrt{3}\).

Шаг 4: Применим теорему синусов к треугольнику BDA.

Так как AD = y = \(x\sqrt{3}\), получаем: \[\frac{x\sqrt{3}}{\sin(\angle DBA)} = \frac{2x}{\sin(\angle A)}\]

Сокращаем x: \[\frac{\sqrt{3}}{\sin(\angle DBA)} = \frac{2}{\sin(\angle A)}\]

Шаг 5: Найдем углы ∠DBA и ∠A.

Так как сумма углов в треугольнике BDA равна 180°, то ∠A = 180° - 30° - ∠DBA = 150° - ∠DBA.

Тогда: \[\frac{\sqrt{3}}{\sin(\angle DBA)} = \frac{2}{\sin(150^\circ - \angle DBA)}\] \[\sqrt{3} \sin(150^\circ - \angle DBA) = 2 \sin(\angle DBA)\] \[\sqrt{3} (\sin(150^\circ) \cos(\angle DBA) - \cos(150^\circ) \sin(\angle DBA)) = 2 \sin(\angle DBA)\] \[\sqrt{3} (\frac{1}{2} \cos(\angle DBA) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\angle DBA)) = 2 \sin(\angle DBA)\] \[\frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\angle DBA) + \frac{3}{2} \sin(\angle DBA) = 2 \sin(\angle DBA)\] \[\frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\angle DBA) = \frac{1}{2} \sin(\angle DBA)\] \[\tan(\angle DBA) = \sqrt{3}\] \[\angle DBA = 60^\circ\]

Следовательно, ∠A = 150° - 60° = 90°.

Шаг 6: Рассмотрим треугольник ABC.

Теперь мы знаем, что ∠A = 90°, а значит, треугольник ABC прямоугольный. Также, так как ∠BDC = 90°, то BD является высотой, проведенной к гипотенузе AC.

Шаг 7: Найдем отношение сторон AB к BC.

В треугольнике ABC: \(\sin(\angle C) = \frac{AB}{BC}\) Так как ∠C = 30°, то \[\frac{AB}{BC} = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\] Но это не отношение сторон, образующих углы 30° и 90° с медианой. Нам нужно найти отношение AB к BD или BC к BD. Мы уже знаем, что BD = 2x и BC = x.

В треугольнике BDC: \[\sin(\angle C) = \frac{BD}{BC} \Rightarrow \frac{BD}{BC} = \frac{2x}{x} = 2\]

Тогда \(\angle C = 60^\circ\) и \[\tan(60^\circ) = \frac{AB}{AC} = \sqrt{3}\]

Ответ: \(\sqrt{3}\)