6) Две стороны и высота, проведённая к одной из них, одного треугольни- ка соответственно равны двум сторонам и высоте, проведённой к одной из них, другого треугольника. Могут ли такие треугольники быть неравными? в) Докажите, что если сторона и проведённые к ней высота и медиана од- ного треугольника соответственно равны стороне и проведённым к ней вы- соте и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны. г) Докажите, что если концы отрезка равноудалены от прямой, пересекаю- щей отрезок, то эта прямая проходит через середину отрезка. д) Точки МиN — середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Докажи- те, что эти точки равноудалены от прямой ВС. 47. а) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите АС, если ВС = 24 см, а периметр треуголь- ника АЕС равен 30 см. 6) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке стороны ВС. Докажите, что_∠A = ∠B + ∠C. в) Две биссектрисы треугольника проходят через точку О. Докажите, что и третья биссектриса проходит через точку О. г) Точки НИК — проекции середин сторон АВ и АС треугольника АВС на прямую ВС. Докажите, что ВС = 2НК. Рассмотрите все возможные случаи. 48. а) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника проходят через точку О. Докажите, что и серединный перпендикуляр к третьей сторо- не проходит через точку О. 6) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересека- ются в точке, лежащей на третьей стороне. Докажите, что этот треугольник прямоугольный, а указанная точка — середина гипотенузы. в) Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пе-

Задача 47

а)

• Дано: \( BC = 24 \) см, периметр \( \triangle AEC = 30 \) см.
• Найти: \( AC \).
• Решение:

Так как серединный перпендикуляр к стороне \( AB \) пересекает \( BC \) в точке \( E \), то \( AE = BE \). Периметр \( \triangle AEC \) равен:

\[ P_{AEC} = AE + EC + AC = BE + EC + AC = BC + AC \]

Подставляем известные значения:

\[ 30 = 24 + AC \] \[ AC = 30 - 24 = 6 \text{ см} \]

Ответ: \( AC = 6 \) см.

б)

Доказательство: Если серединные перпендикуляры к сторонам \( AB \) и \( AC \) треугольника \( ABC \) пересекаются в точке стороны \( BC \), то треугольник \( ABC \) — прямоугольный, и \( \angle A = \angle B + \angle C \).

• Пусть \( O \) — точка пересечения серединных перпендикуляров к \( AB \) и \( AC \). Тогда \( OA = OB \) и \( OA = OC \).
• Следовательно, \( OB = OC \), и точка \( O \) — центр описанной окружности около \( \triangle ABC \).
• Поскольку точка \( O \) лежит на стороне \( BC \), то \( BC \) — диаметр этой окружности, а \( \angle BAC \) опирается на диаметр, следовательно, \( \angle BAC = 90^\circ \).
• Таким образом, \( \angle A = 90^\circ \), и так как сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), то \( \angle A = \angle B + \angle C \).

в)

Доказательство: Если две биссектрисы треугольника проходят через точку \( O \), то и третья биссектриса проходит через эту точку.

• Пусть \( O \) — точка пересечения двух биссектрис. Тогда \( O \) равноудалена от сторон \( AB \) и \( AC \), а также от сторон \( BC \) и \( AB \).
• Следовательно, \( O \) равноудалена от всех трех сторон треугольника, и является центром вписанной окружности.
• Значит, третья биссектриса также проходит через точку \( O \).

г)

Доказательство: Если \( H \) и \( K \) — проекции середин сторон \( AB \) и \( AC \) на прямую \( BC \), то \( BC = 2HK \). Рассмотрим все возможные случаи.

• Пусть \( M \) и \( N \) — середины сторон \( AB \) и \( AC \) соответственно. Тогда \( MN \) — средняя линия треугольника \( ABC \), и \( MN \|\| BC \), \( MN = \frac{1}{2} BC \).
• \( H \) и \( K \) — проекции \( M \) и \( N \) на \( BC \) соответственно.
• Значит, \( HK = MN = \frac{1}{2} BC \).
• Следовательно, \( BC = 2HK \).

Задача 48

а)

Доказательство: Если серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника проходят через точку \( O \), то и серединный перпендикуляр к третьей стороне проходит через точку \( O \).

• Пусть \( O \) — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам \( AB \) и \( AC \). Тогда \( OA = OB \) и \( OA = OC \).
• Следовательно, \( OB = OC \), и точка \( O \) является центром описанной окружности около \( \triangle ABC \).
• Таким образом, серединный перпендикуляр к стороне \( BC \) также проходит через точку \( O \).

б)

Доказательство: Если серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в точке, лежащей на третьей стороне, то этот треугольник прямоугольный, а указанная точка — середина гипотенузы.

• Пусть серединные перпендикуляры к сторонам \( AB \) и \( AC \) пересекаются в точке \( O \), лежащей на стороне \( BC \). Тогда \( OA = OB \) и \( OA = OC \).
• Следовательно, \( OB = OC \), и точка \( O \) — центр описанной окружности около \( \triangle ABC \).
• Поскольку точка \( O \) лежит на стороне \( BC \), то \( BC \) — диаметр этой окружности, а \( \angle BAC \) опирается на диаметр, следовательно, \( \angle BAC = 90^\circ \).
• Таким образом, \( \triangle ABC \) — прямоугольный, а точка \( O \) — середина гипотенузы \( BC \).

в)

Для доказательства утверждения о биссектрисах внешних углов требуется дополнительная информация или рисунок, который, к сожалению, отсутствует в предоставленном фрагменте.