Две пружины с различными коэффициентами жёсткости соединили последовательно и подвесили к ним груз. При этом верхняя пружина жёсткостью k растянулась на 6 см. На сколько опустилась точка, к которой прикрепили груз, если коэффициент жёсткости нижней пружины в 3 раза больше коэффициента жёсткости верхней пружины? Ответ дайте в см, округлив до целого числа.

Решение:

Пусть \( k_1 \) — жёсткость верхней пружины, а \( k_2 \) — жёсткость нижней пружины. По условию \( k_1 = k \) и \( k_2 = 3k \).

По закону Гука, растяжение пружины \( Δl \) связано с силой \( F \) и жёсткостью \( k \) формулой \( F = k Δl \).

1. Растяжение верхней пружины:
   Известно, что верхняя пружина растянулась на \( Δl_1 = 6 \) см под действием силы тяжести груза \( F \).
   \( F = k_1 Δl_1 = k · 6 \) см.
2. Растяжение нижней пружины:
   Сила, действующая на нижнюю пружину, также равна \( F \), так как пружины соединены последовательно.
   \( F = k_2 Δl_2 \)
   \( k · 6 = (3k) · Δl_2 \)
3. Найдём растяжение нижней пружины:
   Из уравнения: \( Δl_2 = \frac{k · 6}{3k} = \frac{6}{3} = 2 \) см.
4. Общее опускание точки:
   Точка, к которой прикрепили груз, опустилась на величину, равную сумме растяжений обеих пружин.
   \( Δl_{общее} = Δl_1 + Δl_2 = 6 \) см + \( 2 \) см = \( 8 \) см.

Ответ: 8 см.