Две однородные пластины одинаковой толщины имеют форму равнобедренных треугольников с одинаковыми основаниями. Их соединили вместе так, как показано на рисунке. Высоты, проведённые к основаниям треугольников, равны \(a = 30\) см и \(b = 10\) см. Отношение плотностей левой и правой пластин \(\frac{\rho_1}{\rho_2} = 2\). Определите расстояние от центра масс получившейся пластины до точки \(O\), расположенной на прямой, вдоль которой соединили пластины, и на оси симметрии пластины. Ответ дайте в см, округлив до десятых.

Решение:

Центр масс треугольника находится на расстоянии \(\frac{1}{3}\) высоты от основания. Обозначим расстояния от точки \(O\) до центров масс левой и правой пластин как \(x_1\) и \(x_2\) соответственно.

Расстояние от \(O\) до центра масс левой пластины:

\[ x_1 = \frac{1}{3} a = \frac{1}{3} \cdot 30 \text{ см} = 10 \text{ см} \]

Расстояние от \(O\) до центра масс правой пластины:

\[ x_2 = \frac{1}{3} b = \frac{1}{3} \cdot 10 \text{ см} = \frac{10}{3} \text{ см} \]

Массы пластин пропорциональны их площадям и плотностям. Так как толщина и основания треугольников одинаковы, отношение площадей равно отношению высот, а отношение масс равно:

\[ \frac{m_1}{m_2} = \frac{\rho_1 S_1}{\rho_2 S_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot \frac{a}{b} = 2 \cdot \frac{30}{10} = 2 \cdot 3 = 6 \]

Пусть \( m_2 = m \), тогда \( m_1 = 6m \).

Координата центра масс всей системы относительно точки \(O\):

\[ x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{6m \cdot 10 + m \cdot \frac{10}{3}}{6m + m} = \frac{60m + \frac{10m}{3}}{7m} \]

Сокращаем \(m\):

\[ x_{CM} = \frac{60 + \frac{10}{3}}{7} = \frac{\frac{180 + 10}{3}}{7} = \frac{\frac{190}{3}}{7} = \frac{190}{21} \]

Вычислим приближенное значение и округлим до десятых:

\[ x_{CM} \approx 9.0476 \dots \text{ см} \]

Округляем до десятых:

\[ x_{CM} \approx 9.0 \text{ см} \]

Ответ: 9.0 см.