Две одинаковых металлических дробинки массой по m = 4, 5 г каждая находятся в одной точке подвеса на тонких ниточках длиной L. Когда каждому шарику сообщили количество электронов, равное Ne = 5 · 10^12, они разошлись, и нити образовали угол α = 90°. Какова длина каждой ниточки L? Запиши в поле ответа верное число.

Разбор задачи

Это задача из области электростатики и механики. Нам нужно найти длину нити, на которой висят два одинаковых шарика, отталкивающихся друг от друга из-за одинакового заряда. Угол между нитями составляет 90 градусов.

Дано:

• Масса каждого шарика: \( m = 4,5 \) г = \( 4,5 \times 10^{-3} \) кг.
• Количество электронов на каждом шарике: \( N_e = 5 \times 10^{12} \).
• Угол между нитями: \( \alpha = 90^\circ \).
• Ускорение свободного падения: \( g \approx 9,8 \) м/с² (примем \( g = 10 \) м/с² для упрощения расчетов, если не указано иное).
• Заряд электрона: \( e ≈ 1,6 \times 10^{-19} \) Кл.

Найти: Длина нити \( L \).

Решение:

Когда шарики разошлись, каждая нить отклонилась от вертикали на угол \( \theta = \frac{\alpha}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \).

Силы, действующие на один шарик:

1. Сила тяжести \( mg \) (вертикально вниз).
2. Сила Кулона \( F_k \) (горизонтально от другого шарика).
3. Сила натяжения нити \( T \) (вдоль нити).

В состоянии равновесия сумма сил равна нулю. Разобьем силы на горизонтальные и вертикальные составляющие:

Вертикальные силы:

\( T ≈ б с д с ф = T ≈ б с д с ф р р = mg \)

Горизонтальные силы:

\( F_k = T ≈ б с д с ф = T ≈ б с д с ф р р \)

Поскольку \( \theta = 45^\circ \), то \( ≈ б с д с ф = ≈ б с д с ф р р \), следовательно, \( F_k = mg \).

Теперь рассчитаем заряд каждого шарика:

\( q = N_e ∙ e = (5 \times 10^{12}) ∙ (1,6 \times 10^{-19}) = 8 \times 10^{-7} \) Кл.

Сила Кулона равна:

\[ F_k = k \(\frac{q^2}{r^2}\) \)

где \( k = 9 \times 10^9 \) Н⋅м²/Кл² — постоянная Кулона, \( r \) — расстояние между центрами шариков.

Из условия \( F_k = mg \) получаем:

\[ k \(\frac{q^2}{r^2}\) = mg \)

Отсюда найдём \( r^2 \):

\[ r^2 = k \(\frac{q^2}{mg}\) \)

\[ r^2 = \(9 \times 10^9\) \(\frac\){\(8 \times 10^{-7}\)^2}{\(4,5 \times 10^{-3}\) ∙ 10} = \(9 \times 10^9\) \(\frac\){64 \(\times\) 10^{-14}}{4,5 \(\times\) 10^{-2}} \)

\[ r^2 = \(\frac\){9 ∙ 64 ∙ 10^9 ∙ 10^{-14}}{4,5 ∙ 10^{-2}} = \(\frac\){576 ∙ 10^{-5}}{4,5 ∙ 10^{-2}} = \(\frac{576}{4,5}\) ∙ 10^{-3} = 128 ∙ 10^{-3} \) м².

\( r = √{128 ∙ 10^{-3}} ≈ 0,358 \) м.

Теперь свяжем \( r \) с длиной нити \( L \) и углом \( \theta \). Расстояние между шариками \( r \) равно удвоенному расстоянию от центра подвеса до середины отрезка, соединяющего шарики, по горизонтали. Из геометрии: \( r = 2 ∙ L ≈ б с д с ф \) или \( r = 2 ∙ L ≈ б с д с ф р р \).

Из \( ≈ б с д с ф = L ≈ б с д с ф р р \) (где \( ≈ б с д с ф р р \) — это половина расстояния между шариками, \( r/2 \)) и \( ≈ б с д с ф = L ≈ б с д с ф \) (где \( ≈ б с д с ф \) — это сила тяжести \( mg \)), мы имеем \( ≈ б с д с ф = L ≈ б с д с ф \).

Так как \( \theta = 45^\circ \), то \( ≈ б с д с ф = ≈ б с д с ф р р \). Следовательно, \( mg = F_k \).

Также из геометрии: \( \frac{r}{2} = L ≈ б с д с ф \) и \( mg = T ≈ б с д с ф \).

Учитывая, что \( \tan(\theta) = \frac{F_k}{mg} \), и поскольку \( F_k = mg \), то \( \tan(\theta) = 1 \), что соответствует \( \theta = 45^\circ \). Это подтверждает условие задачи.

Теперь найдем \( L \). Из \( \tan(\theta) = \frac{r/2}{L_{верт}} \), где \( L_{верт} \) — вертикальная проекция нити, но мы ищем общую длину нити \( L \).

Используем соотношение \( \frac{r}{2} = L ≈ б с д с ф \) и \( mg = T ≈ б с д с ф \).

У нас есть \( r ≈ 0,358 \) м. Следовательно, \( \frac{r}{2} ≈ 0,179 \) м.

Из \( mg = T ≈ б с д с ф \), мы не можем напрямую найти \( L \).

Воспользуемся другим подходом: \( \frac{r}{2} = L ≈ б с д с ф \).

\[ \(\frac{r}{2}\) = L ≈ б с д с ф \)

Из \( \tan(\theta) = \frac{r/2}{L_{верт}} \), где \( L_{верт} = L ≈ б с д с ф \).

\( ≈ б с д с ф = \frac{r/2}{≈ б с д с ф} = \frac{r/2}{mg} \)

Но \( L_{верт} \) — это не \( L \).

Используем \( \frac{r}{2} = L ≈ б с д с ф \) и \( r = 2L ≈ б с д с ф р р \).

Так как \( \theta = 45^\circ \), то \( ≈ б с д с ф = ≈ б с д с ф р р \). Это означает, что \( \frac{r}{2} = L ≈ б с д с ф \).

У нас есть \( r^2 = 128 \times 10^{-3} \) м².

\( r = √{0,128} ≈ 0,3578 \) м.

\( \frac{r}{2} ≈ 0,1789 \) м.

Теперь найдем \( L \) используя \( ≈ б с д с ф = L ≈ б с д с ф \). Это неверно.

Правильное соотношение:

\[ \(\tan\)\(\theta\) = \(\frac{F_k}{mg}\) \)

\( \frac{r}{2} = L ≈ б с д с ф \)

\[ ≈ б с д с ф = L ≈ б с д с ф ≈ б с д с ф \)

\[ L ≈ б с д с ф = \(\frac{r/2}{≈ б с д с ф}\) = \(\frac{r/2}\){\(\tan\)\(\theta\)} \)

\( L = \frac{r/2}{\tan(45^\circ)} = \frac{r/2}{1} = \frac{r}{2} \)

\( L ≈ 0,1789 \) м.

Переведем в сантиметры: \( L ≈ 17,89 \) см.

Проверим расчеты:

\( r^2 = \frac{k q^2}{mg} = \frac{(9 \times 10^9) \times (8 \times 10^{-7})^2}{(4.5 \times 10^{-3}) \times 10} = \frac{9 \times 10^9 \times 64 \times 10^{-14}}{45 \times 10^{-3}} = \frac{576 \times 10^{-5}}{45 \times 10^{-3}} = \frac{576}{45} \times 10^{-2} = 12.8 \times 10^{-2} = 0.128 \) м².

\( r = √{0.128} ≈ 0.3578 \) м.

\( L = r/2 ≈ 0.3578 / 2 ≈ 0.1789 \) м.

Округлим до десятых: \( L ≈ 0,2 \) м.

Если использовать \( g = 9.8 \) м/с²:

\[ r^2 = \(\frac\){\(9 \times 10^9\) \(\times\) \(8 \times 10^{-7}\)^2}{\(4.5 \times 10^{-3}\) \(\times\) 9.8} = \(\frac\){576 \(\times\) 10^{-5}}{44.1 \(\times\) 10^{-3}} = \(\frac{576}{44.1}\) \(\times\) 10^{-2} ≈ 13.06 \(\times\) 10^{-2} = 0.1306 \) м².

\( r = √{0.1306} ≈ 0.3614 \) м.

\( L = r/2 ≈ 0.3614 / 2 ≈ 0.1807 \) м.

Округляем до десятых: \( L ≈ 0,2 \) м.

Ответ: 0.2