Две команды разыграли первенство по десятиборью, причем за победу в каждом из видов команда получала 4 очка, за ничью — 2 очка и за проигрыш — 1 очко. Вместе обе команды набрали 46 очков. Сколько было ничьих?

Решение:

Обозначим:

• \( п \) — количество побед у одной команды;
• \( н \) — количество ничьих у одной команды;
• \( п' \) — количество побед у второй команды;
• \( н' \) — количество ничьих у второй команды.

Общее количество видов в десятиборье — \( 10 \).

Сумма очков у одной команды: \( 4п + 2н + 1(10 - п - н) = 46 \)

Упростим уравнение:

\( 4п + 2н + 10 - п - н = 46 \)

\( 3п + н + 10 = 46 \)

\( 3п + н = 36 \)

Поскольку \( п \) и \( н \) — целые неотрицательные числа, и \( п \) не может быть больше 10 (так как это десятиборье), переберём возможные значения \( п \) и найдём соответствующие \( н \):

• Если \( п = 10 \), то \( 3 \cdot 10 + н = 36 \Rightarrow 30 + н = 36 \Rightarrow н = 6 \). (Невозможно, так как \( п + н = 10 + 6 = 16 > 10 \)).
• Если \( п = 9 \), то \( 3 \cdot 9 + н = 36 \Rightarrow 27 + н = 36 \Rightarrow н = 9 \). (Невозможно, так как \( п + н = 9 + 9 = 18 > 10 \)).
• Если \( п = 8 \), то \( 3 \cdot 8 + н = 36 \Rightarrow 24 + н = 36 \Rightarrow н = 12 \). (Невозможно, так как \( п + н = 8 + 12 = 20 > 10 \)).
• Если \( п = 7 \), то \( 3 \cdot 7 + н = 36 \Rightarrow 21 + н = 36 \Rightarrow н = 15 \). (Невозможно, так как \( п + н = 7 + 15 = 22 > 10 \)).
• Если \( п = 6 \), то \( 3 \cdot 6 + н = 36 \Rightarrow 18 + н = 36 \Rightarrow н = 18 \). (Невозможно, так как \( п + н = 6 + 18 = 24 > 10 \)).
• Если \( п = 5 \), то \( 3 \cdot 5 + н = 36 \Rightarrow 15 + н = 36 \Rightarrow н = 21 \). (Невозможно, так как \( п + н = 5 + 21 = 26 > 10 \)).
• Если \( п = 4 \), то \( 3 \cdot 4 + н = 36 \Rightarrow 12 + н = 36 \Rightarrow н = 24 \). (Невозможно, так как \( п + н = 4 + 24 = 28 > 10 \)).
• Если \( п = 3 \), то \( 3 \cdot 3 + н = 36 \Rightarrow 9 + н = 36 \Rightarrow н = 27 \). (Невозможно, так как \( п + н = 3 + 27 = 30 > 10 \)).
• Если \( п = 2 \), то \( 3 \cdot 2 + н = 36 \Rightarrow 6 + н = 36 \Rightarrow н = 30 \). (Невозможно, так как \( п + н = 2 + 30 = 32 > 10 \)).
• Если \( п = 1 \), то \( 3 \cdot 1 + н = 36 \Rightarrow 3 + н = 36 \Rightarrow н = 33 \). (Невозможно, так как \( п + н = 1 + 33 = 34 > 10 \)).
• Если \( п = 0 \), то \( 3 \cdot 0 + н = 36 \Rightarrow н = 36 \). (Невозможно, так как \( п + н = 0 + 36 = 36 > 10 \)).

Похоже, в условии задачи есть ошибка, или я неправильно интерпретировал условие. Давайте попробуем решить, предполагая, что \( п \) и \( н \) — это количества побед и ничьих, которые каждая команда получила в сумме за все виды, а \( п + н \) может быть меньше 10, если есть проигрыши. Но тогда общая сумма очков не учитывает проигрыши.

Переформулируем условие:

Пусть \( W \) — общее количество побед у обеих команд, \( D \) — общее количество ничьих у обеих команд, \( L \) — общее количество проигрышей у обеих команд.

За каждую победу дается 4 очка, за ничью — 2, за проигрыш — 1.

Общая сумма очков: \( 4W + 2D + 1L = 46 \)

В десятиборье всего 10 видов. В каждом виде либо одна команда побеждает, либо ничья, либо другая команда побеждает.

Если \( W_1 \) — победы первой команды, \( D_1 \) — ничьи первой команды, \( L_1 \) — проигрыши первой команды.

\( W_1 + D_1 + L_1 = 10 \)

\( 4W_1 + 2D_1 + L_1 = S_1 \)

Если \( W_2 \) — победы второй команды, \( D_2 \) — ничьи второй команды, \( L_2 \) — проигрыши второй команды.

\( W_2 + D_2 + L_2 = 10 \)

\( 4W_2 + 2D_2 + L_2 = S_2 \)

Общее количество очков \( S_1 + S_2 = 46 \).

Важно: \( W_1 = L_2 \) и \( W_2 = L_1 \).

\( D_1 = D_2 \) (количество ничьих в каждом виде одинаково).

Пусть \( k \) — количество ничьих (то есть \( D_1 = D_2 = k \)).

Тогда:

\( W_1 + k + L_1 = 10 \) \( \rightarrow L_1 = 10 - W_1 - k \)

\( W_2 + k + L_2 = 10 \) \( \rightarrow L_2 = 10 - W_2 - k \)

\( S_1 = 4W_1 + 2k + (10 - W_1 - k) = 3W_1 + k + 10 \)

\( S_2 = 4W_2 + 2k + (10 - W_2 - k) = 3W_2 + k + 10 \)

\( S_1 + S_2 = (3W_1 + k + 10) + (3W_2 + k + 10) = 3(W_1 + W_2) + 2k + 20 = 46 \)

\( 3(W_1 + W_2) + 2k = 26 \)

\( W_1 + W_2 \) — это общее количество побед (и, соответственно, общее количество проигрышей, так как \( W_1+W_2=L_1+L_2 \)).

\( 2k \) — это удвоенное количество ничьих.

\( 3(W_1 + W_2) \) — должно быть четным числом, так как \( 2k \) и \( 26 \) — четные.

Следовательно, \( W_1 + W_2 \) может быть равно 0, 2, 4, 6, 8.

Если \( W_1 + W_2 = 0 \), то \( 3(0) + 2k = 26 \Rightarrow 2k = 26 \Rightarrow k = 13 \). (Невозможно, так как \( k \) — количество ничьих в 10 видах, \( k \) не может быть больше 10).

Если \( W_1 + W_2 = 2 \), то \( 3(2) + 2k = 26 \Rightarrow 6 + 2k = 26 \Rightarrow 2k = 20 \Rightarrow k = 10 \). (Невозможно, так как \( k \) — количество ничьих, а \( W_1+W_2=2 \) — общее количество побед/проигрышей. В сумме \( W_1+W_2+k = 2+10 = 12 > 10 \).)

Если \( W_1 + W_2 = 4 \), то \( 3(4) + 2k = 26 \Rightarrow 12 + 2k = 26 \Rightarrow 2k = 14 \Rightarrow k = 7 \). Это возможно. \( W_1+W_2=4 \) и \( k=7 \). Общее число видов \( W_1+W_2 + k = 4 + 7 = 11 \). (Тоже не подходит, так как всего 10 видов).

Если \( W_1 + W_2 = 6 \), то \( 3(6) + 2k = 26 \Rightarrow 18 + 2k = 26 \Rightarrow 2k = 8 \Rightarrow k = 4 \). Это возможно. \( W_1+W_2=6 \) и \( k=4 \). Общее число видов \( W_1+W_2 + k = 6 + 4 = 10 \). Это условие выполняется!

Итак, общее количество ничьих \( D = D_1 + D_2 \). Но \( D_1 = D_2 = k \), значит общее количество ничьих равно \( 2k \) — это неправильно. \( k \) — это количество ничьих в каждом виде. В каждом виде либо одна команда выигрывает, либо ничья. Поэтому общее количество ничьих (то есть видов, закончившихся вничью) равно \( k \).

\( k \) — это общее количество видов, которые закончились вничью.

\( 3(W_1 + W_2) + 2k = 26 \)

\( k \) — общее количество ничьих, \( W_1+W_2 \) — общее количество побед.

Сумма всех результатов: \( (W_1+W_2) + k + (L_1+L_2) = 10 \).

Так как \( W_1 = L_2 \) и \( W_2 = L_1 \), то \( W_1+W_2 = L_1+L_2 \).

Пусть \( N_{win} = W_1+W_2 \) (общее количество побед), \( N_{draw} = k \) (общее количество ничьих), \( N_{loss} = L_1+L_2 \) (общее количество проигрышей).

\( N_{win} + N_{draw} + N_{loss} = 10 \)

\( N_{win} = N_{loss} \)

\( N_{win} + N_{draw} + N_{win} = 10 \Rightarrow 2N_{win} + N_{draw} = 10 \)

Из уравнения \( 3(W_1 + W_2) + 2k = 26 \) мы получили \( 3N_{win} + 2N_{draw} = 26 \).

Теперь у нас система из двух уравнений:

1. \( 2N_{win} + N_{draw} = 10 \)
2. \( 3N_{win} + 2N_{draw} = 26 \)

Из первого уравнения выразим \( N_{draw} = 10 - 2N_{win} \).

Подставим во второе уравнение:

\( 3N_{win} + 2(10 - 2N_{win}) = 26 \)

\( 3N_{win} + 20 - 4N_{win} = 26 \)

\( -N_{win} = 6 \Rightarrow N_{win} = -6 \).

Это невозможно, так как количество побед не может быть отрицательным.

Возможно, я неверно интерпретировал «Вместе обе команды набрали 46 очков». Возможно, это означает, что сумма очков, полученных каждой командой за все 10 раундов, равна 46.

Пусть \( x \) — количество ничьих, \( y \) — количество побед у первой команды, \( z \) — количество побед у второй команды.

Тогда у первой команды \( y \) побед, \( x \) ничьих, \( 10 - y - x \) проигрышей.

У второй команды \( z \) побед, \( x \) ничьих, \( 10 - z - x \) проигрышей.

Важно: \( y = 10 - z - x \) и \( z = 10 - y - x \). То есть \( y+z+x=10 \).

Очки первой команды: \( 4y + 2x + 1(10 - y - x) = 3y + x + 10 \)

Очки второй команды: \( 4z + 2x + 1(10 - z - x) = 3z + x + 10 \)

Сумма очков: \( (3y + x + 10) + (3z + x + 10) = 46 \)

\( 3(y+z) + 2x + 20 = 46 \)

\( 3(y+z) + 2x = 26 \)

Также мы знаем, что \( y+z+x = 10 \).

Из \( y+z+x = 10 \) следует \( y+z = 10 - x \).

Подставляем \( y+z \) в уравнение \( 3(y+z) + 2x = 26 \):

\( 3(10 - x) + 2x = 26 \)

\( 30 - 3x + 2x = 26 \)

\( 30 - x = 26 \)

\( x = 30 - 26 \)

\( x = 4 \)

\( x \) — это количество ничьих. Поскольку \( x=4 \), то количество ничьих равно 4.

Проверим:

Если \( x=4 \), то \( y+z = 10 - 4 = 6 \).

Общее количество побед \( y+z = 6 \).

Очки первой команды: \( 3y + 4 + 10 = 3y + 14 \)

Очки второй команды: \( 3z + 4 + 10 = 3z + 14 \)

Сумма очков: \( (3y + 14) + (3z + 14) = 3(y+z) + 28 = 3(6) + 28 = 18 + 28 = 46 \).

Условие выполняется.

Следовательно, количество ничьих равно 4.

Ответ: 4