Два землепашца, Иван и Григорий, могут вспахать поле за 2 ч. За сколько часов Григорий может вспахать всё поле, если Иван всю работу может закончить на 3 ч раньше, чем Григорий?

Решение:

Пусть \( x \) часов — время, за которое Григорий может вспахать всё поле. Тогда \( x - 3 \) часов — время, за которое Иван может вспахать всё поле.

Производительность Григория равна \( \frac{1}{x} \) поля в час.

Производительность Ивана равна \( \frac{1}{x-3} \) поля в час.

Совместная производительность Ивана и Григория равна \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-3} \) поля в час.

Из условия задачи известно, что вместе они могут вспахать поле за 2 часа, значит, их совместная производительность равна \( \frac{1}{2} \) поля в час.

Составим уравнение:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-3} = \frac{1}{2} \)

Приведём дроби к общему знаменателю \( 2x(x-3) \):

\( \frac{2(x-3)}{2x(x-3)} + \frac{2x}{2x(x-3)} = \frac{x(x-3)}{2x(x-3)} \)

Умножим обе части уравнения на \( 2x(x-3) \) (при условии \( x \neq 0 \) и \( x \neq 3 \)):

\( 2(x-3) + 2x = x(x-3) \)

\( 2x - 6 + 2x = x^2 - 3x \)

\( 4x - 6 = x^2 - 3x \)

Перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\( x^2 - 3x - 4x + 6 = 0 \)

\( x^2 - 7x + 6 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \).

\( \sqrt{D} = 5 \).

Найдём корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \)

Так как время, за которое Иван может вспахать поле, равно \( x - 3 \), то \( x \) должно быть больше 3. Поэтому \( x = 1 \) не подходит.

Следовательно, Григорий может вспахать всё поле за 6 часов.

Проверка:

Если Григорий вспахивает поле за 6 ч, то его производительность \( \frac{1}{6} \) поля в час.

Иван вспахивает поле за \( 6 - 3 = 3 \) ч, его производительность \( \frac{1}{3} \) поля в час.

Их совместная производительность: \( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) поля в час.

Значит, вместе они вспашут поле за 2 часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: 6 ч.