Два диаметра АС и BD одной окружности радиусом 11 пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АОВ, если известно, что длина отрезка CD равна 6. PAOB = ЗАДАНИЕ №4 116292 Две стороны угла имеют по две общие точки с окружностью. При этом одна из них проходит через центр окружности.

Ответ: 34

Решение:

• Шаг 1: Найдем углы при вершине O.

Рассмотрим равнобедренный треугольник COD (OC = OD = радиус = 11). Пусть угол \(\angle COD = \alpha\), тогда и угол \(\angle AOB = \alpha\) (как вертикальные). Сторона CD = 6. По теореме косинусов: \[CD^2 = OC^2 + OD^2 - 2 \cdot OC \cdot OD \cdot cos(\alpha)\] \[6^2 = 11^2 + 11^2 - 2 \cdot 11 \cdot 11 \cdot cos(\alpha)\] \[36 = 121 + 121 - 242 \cdot cos(\alpha)\] \[242 \cdot cos(\alpha) = 242 - 36\] \[242 \cdot cos(\alpha) = 206\] \[cos(\alpha) = \frac{206}{242} = \frac{103}{121}\]

• Шаг 2: Найдем сторону AB.

Применим теорему косинусов к треугольнику AOB: \[AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot cos(\alpha)\] Так как AO = BO = 11 (радиусы окружности), то: \[AB^2 = 11^2 + 11^2 - 2 \cdot 11 \cdot 11 \cdot \frac{103}{121}\] \[AB^2 = 121 + 121 - 2 \cdot 121 \cdot \frac{103}{121}\] \[AB^2 = 242 - 2 \cdot 103\] \[AB^2 = 242 - 206 = 36\] \[AB = \sqrt{36} = 6\]

• Шаг 3: Найдем периметр треугольника AOB.

Периметр треугольника AOB равен: \[P_{AOB} = AO + BO + AB = 11 + 11 + 6 = 28\]

Ответ: 28