Два бруска лежат друг на друге, как показано на рисунке. Отношение масс брусков \( \frac{m_2}{m_1} = 2 \), отношение коэффициентов трения между брусками \( \mu_1 \) и между нижним бруском и горизонтальной поверхностью стола \( \mu_2 \) равно \( \frac{\mu_1}{\mu_2} = 2 \). Известно, что система выйдет из состояния равновесия, если к нижнему бруску приложить горизонтальную силу не менее \( F_1 = 7,8 \) Н. А какую минимальную горизонтальную силу нужно прикладывать к верхнему бруску, чтобы система вышла из положения равновесия? Ответ дайте в ньютонах, округлив до десятых.

Решение:

Дано:

• \( \frac{m_2}{m_1} = 2 \)
• \( \frac{\mu_1}{\mu_2} = 2 \)
• \( F_{1, min} = 7,8 \) Н (минимальная сила для начала движения нижнего бруска)

Найти: \( F_{2, min} \) (минимальная сила, прикладываемая к верхнему бруску, чтобы система вышла из равновесия)

1. Сила трения покоя между брусками:

Когда мы прикладываем силу \( F_1 \) к нижнему бруску, он начинает двигаться, когда сила трения скольжения между нижним бруском и столом достигнет своего максимального значения.

Максимальная сила трения между нижним бруском и столом: \( f_{max, 2} = \mu_2 N_2 \), где \( N_2 \) — сила нормальной реакции стола. \( N_2 = (m_1 + m_2)g \).

\( f_{max, 2} = \mu_2 (m_1 + m_2)g \).

Система выходит из равновесия, когда \( F_1 = f_{max, 2} \).

\( 7,8 = \mu_2 (m_1 + m_2)g \).

2. Сила трения покоя между брусками при приложении силы к верхнему бруску:

Когда мы прикладываем силу \( F_2 \) к верхнему бруску, он стремится сдвинуться относительно нижнего. Сила трения между брусками будет максимальной, когда верхний брусок начнет скользить по нижнему.

Максимальная сила трения между брусками: \( f_{max, 1} = \mu_1 N_1 \), где \( N_1 \) — сила нормальной реакции нижнего бруска на верхний. \( N_1 = m_1 g \).

\( f_{max, 1} = \mu_1 m_1 g \).

3. Связь между силами трения и массами:

Из условия \( \frac{\mu_1}{\mu_2} = 2 \) следует, что \( \mu_1 = 2\mu_2 \).

Из условия \( \frac{m_2}{m_1} = 2 \) следует, что \( m_2 = 2m_1 \).

Подставим эти соотношения в формулу для \( f_{max, 1} \):

\( f_{max, 1} = (2\mu_2) m_1 g = 2 \mu_2 m_1 g \).

Теперь выразим \( f_{max, 2} \) через \( m_1 \) и \( \mu_2 \):

\( f_{max, 2} = \mu_2 (m_1 + 2m_1)g = \mu_2 (3m_1)g = 3 \mu_2 m_1 g \).

Сравним максимальные силы трения:

\( f_{max, 1} = 2 \mu_2 m_1 g \)

\( f_{max, 2} = 3 \mu_2 m_1 g \)

4. Определение минимальной силы \( F_2 \):

Система выйдет из положения равновесия, когда приложенная сила \( F_2 \) превысит максимальную силу трения между брусками \( f_{max, 1} \).

\( F_{2, min} = f_{max, 1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 m_1 g \).

Мы знаем, что \( F_{1, min} = 7,8 \) Н, и \( F_{1, min} = f_{max, 2} = \mu_2 (m_1 + m_2)g = \mu_2 (m_1 + 2m_1)g = 3\mu_2 m_1 g \).

\( 7,8 = 3 \mu_2 m_1 g \).

Отсюда \( \mu_2 m_1 g = \frac{7,8}{3} = 2,6 \) Н.

Теперь найдем \( F_{2, min} \) используя \( \mu_1 = 2\mu_2 \):

\( F_{2, min} = \mu_1 m_1 g = (2\mu_2) m_1 g = 2 (\mu_2 m_1 g) \).

Подставим значение \( \mu_2 m_1 g = 2,6 \) Н:

\( F_{2, min} = 2 \times 2,6 \) Н = \( 5,2 \) Н.

Ответ: 5,2 Н.